随着航空航天装备、精密机床和高精度测试设备的迅速发展，对装配精度的要求不断提高。高精度装配的核心在于对装配偏差的准确预测，而装配偏差的主要来源是零部件在制造过程中不可避免的几何误差^{[ [1]  BOSCHETTO A, BOTTINI L. Design for manufacturing of surfaces to improve accuracy in Fused Deposition Modeling[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2016, 37: 103–114.
1 ]}。这些误差导致了非理想的配合界面，直接影响装配精度。此外，在装配过程中，装配力作用下的零件变形也不可忽视，变形引发的进一步偏差使装配精度问题变得更加复杂。尤其是在高精度机械系统中，即使是微小的误差和变形都会累积，最终影响系统的功能和性能。因此，为了满足高精度装配要求，研究如何精确表征配合界面形态、准确预测装配偏差、综合考虑制造误差和装配力变形的影响，已成为当前高端制造领域的重要课题。

自20世纪中叶至今，研究人员提出了多种用于装配精度分析的理论模型，例如雅可比矩阵（Jacobian）模型^{[ [2]  LAPERRIÈRE L, ELMARAGHY H A. Tolerance analysis and synthesis using Jacobian transforms[J]. CIRP Annals, 2000, 49(1): 359–362.
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7-8 ]}，这些模型被广泛应用于装配精度的分析中。Mu等^{[ [9]  MU X K, YUAN B, WANG Y L, et al. Novel application of mapping method from small displacement torsor to tolerance: Error optimization design of assembly parts[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture, 2022, 236(6–7): 955–967.
9 ]}基于SDT模型对航空发动机高压转子进行了装配误差优化设计；Aoufi等^{[ [10]  AOUFI B, AMEDDAH H, SLAMANI M, et al. An advanced framework for tolerance analysis of cam-clamping devices integrating unified Jacobian-torsor model, Monte Carlo simulation, and bootstrap technique[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2024, 134(5): 2319–2336.
10 ]}则利用统一的雅可比–旋量模型对凸轮夹紧装置进行了公差分析；Gouyou等^{[ [11]  GOUYOU D, TEISSANDIER D, DELOS V, et al. Statistical tolerance analysis applied on overconstrained mechanisms with form deviations[J]. Journal of Computational Design and Engineering, 2020, 7(3): 308–322.
11 ]}使用多面体模型对过约束法兰进行了公差分析。然而，随着精密机械装配技术的发展，研究人员逐渐认识到，配合面的真实形貌对装配精度有着不可忽视的影响^{[ [12]  SHAO N, DING X Y, LIU J H. Tolerance analysis of spur gears based on skin model shapes and a boundary element method[J]. Mechanism and Machine Theory, 2020, 144: 103658.
12 ]}。传统基于SDT的方法虽然能够将表面误差纳入装配分析，但往往将表面误差简化为特征面的平移和旋转^{[ [13]  HU X K, ZHAO Q Q, YANG Y T, et al. Accuracy analysis for machine tool spindles considering full parallel connections and form errors based on skin model shapes[J]. Journal of Computational Design and Engineering, 2023, 10(5): 1970–1987.
13 ]}，无法准确反映真实的表面形貌。为了更精确地描述表面形貌，研究人员发展了多种建模方法来表征复杂的几何误差^{[ [14]  YAN X, BALLU A. Review and comparison of form error simulation methods for computer-aided tolerancing[J]. Journal of Computing and Information Science in Engineering, 2019, 19(1): 010802.
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14-16 ]}。例如，Huang等^{[ [17]  HUANG W Z, CEGLAREK D. Mode-based decomposition of part form error by discrete-cosine-transform with implementation to assembly and stamping system with compliant parts[J]. CIRP Annals, 2002, 51(1): 21–26.
17 ]}提出了一种基于离散余弦变换（Discrete cosine transformation，DCT）的表面误差分解与表征方法，可有效捕捉表面细节特征；Zhang等^{[ [18]  ZHANG Z Q, ZHANG Z J, JIN X, et al. A novel modelling method of geometric errors for precision assembly[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2018, 94(1): 1139–1160.
18 ]}采用非均匀有理B样条（NURBS）表示几何误差，构建了高精度的几何实体模型；Otsuka等^{[ [19]  OTSUKA A, MIYAZAKI S, SUZUKI S, et al. Parameter optimization for random generation of non-ideal surfaces using dual-tree complex wavelet transform[J]. Procedia CIRP, 2024, 129: 246–251.
19 ]}利用小波变换生成了非理想曲面。结合表面形貌的装配精度分析同样得到了广泛研究，Samper等^{[ [20]  SAMPER S, ADRAGNA P A, FAVRELIERE H, et al. Modeling of 2D and 3D assemblies taking into account form errors of plane surfaces[J]. Journal of Computing and Information Science in Engineering, 2009, 9(4): 041005.
20 ]}使用模态分解方法描述形状误差，并与SDT模型结合进行装配精度分析；Sun等^{[ [21]  SUN Q C, ZHAO B B, LIU X, et al. Assembling deviation estimation based on the real mating status of assembly[J]. Computer-Aided Design, 2019, 115: 244–255.
21 ]}通过小波变换分解和重建配合表面形态，同时集成SDT模型来计算装配偏差；Yang^{[ [22]  YANG Y, LIU X, LIU T, et al. A generic integrated approach of assembly tolerance analysis based on skin model shapes[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture, 2021, 235(4): 689–704.
22 ]}和Yi^{[ [23]  YI Y, LIU T Y, YAN Y H, et al. A novel assembly tolerance analysis method considering form errors and partial parallel connections[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2024, 131(11): 5489–5510.
23 ]}等利用肤面模型对非理想曲面进行建模，将几何偏差纳入公差分析框架中，为装配分析提供了更加真实的几何描述。

此外，零件的柔性特性使零件在装配过程中不可避免地发生变形，导致装配精度的分析变得更加复杂，这种变形不仅影响接触面的形状，还可能引发装配体姿态的整体偏移。近年来，学者们在装配精度分析中逐渐引入了零件变形的计算，以提升装配精度分析模型的分析效果^{[ [24]  CAI N, QIAO L, ANWER N. Unified variation modeling of sheet metal assembly considering rigid and compliant variations[J]. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers, Part B: Journal of Engineering Manufacture, 2015, 229(3): 495–507.
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24-25 ]}。例如，Wang等^{[ [26]  WANG K, LIU D X, LIU Z Y, et al. An assembly precision analysis method based on a general part digital twin model[J]. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, 2021, 68: 102089.
26 ]}通过有限元法计算配合面的变形，并将变形量叠加到装配精度分析模型中，从而更准确地评估装配体的偏差；Liu等^{[ [27]  LIU T, ZHU Z W, CAO Y L, et al. Consideration of working conditions in assembly tolerance analysis[J]. Procedia CIRP, 2018, 75: 226–231.
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27-28 ]}结合雅可比–旋量模型，将有限元计算变形引起的偏差纳入统一框架，以支持复杂装配环境下的公差分析；Guo等^{[ [29]  GUO J K, LI B T, LIU Z G, et al. Integration of geometric variation and part deformation into variation propagation of 3-D assemblies[J]. International Journal of Production Research, 2016, 54(19): 5708–5721.
29 ]}则提出了一种弹性配合面的线性等效模型，利用弹簧特性表征接触变形，显著降低了计算复杂度；Grandjean等^{[ [30]  GRANDJEAN J, LEDOUX Y, SAMPER S. On the role of form defects in assemblies subject to local deformations and mechanical loads[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2013, 65(9): 1769–1778.
30 ]}通过模拟材料的纯塑性行为研究了局部表面变形对环形配合表面的影响，揭示了形状误差对装配精度的影响。此外，Liu等^{[ [31]  LIU J H, ZHANG Z Q, DING X Y, et al. Integrating form errors and local surface deformations into tolerance analysis based on skin model shapes and a boundary element method[J]. Computer-Aided Design, 2018, 104: 45–59.
31 ]}采用肤面形状模型表示表面误差，并结合边界元法（BEM）解决误差表面之间的接触问题；Sa等^{[ [32]  SA G D, BAI H D, LIU Z Y, et al. A tolerance analysis method based on assembly deformation simulation with stable contact[J]. Robotic Intelligence and Automation, 2024, 44(1): 1–18.
32 ]}利用BEM计算局部变形，并结合SDT进行公差分析。这些研究在一定程度上同时考虑了表面形貌和零件变形，但多数方法还不能达到完美融合；而且部分方法受限于特定几何形状，在建模过程中损失了表面细节特征。

在以往的研究中，对装配精度的分析主要聚焦于表面形貌的表征及表面微观局部变形的研究。然而，在实际装配过程中，装配力会导致零件产生整体变形，将进一步影响装配精度。现有研究对此关注不足，针对整体变形对装配精度的影响研究较少。因此，本文提出了一种零件形貌误差和受力变形融合表征的装配精度分析方法，通过融合零件形貌误差与受力变形的影响，实现了不同受力条件下的装配精度分析，具有重要的工程应用价值与理论意义。

装配是将单个零件通过连接、配合等方式组装成完整产品的过程，其中最基本的环节是两个零件的装配。装配质量直接影响产品最终的性能、精度及使用寿命。因此，精确的装配过程对于高质量产品的生产至关重要。理想情况下，在装配时若没有任何几何误差，两个零件将完美配合，形成理想的装配状态，如图1（a）所示。此时，装配精度达到最佳状态，零件能够精确地按照设计要求定位和连接。然而，在实际生产过程中，由于制造工艺的限制，零件的几何形状通常存在一定的误差，尤其是位置误差、方向误差和形状误差，导致零件在装配时与理想状态产生偏差，如图1（b）所示。在实际装配过程中，零件不是纯刚体，即使零件的尺寸和形状是理想的，零件也会由于外部装配力的作用发生形变。由于形变的存在，零件的相对位置发生进一步的变化，如图1（c）所示。

零件的几何误差主要产生于加工制造过程中，其中，位姿误差表现为零件表面在空间中的偏移或旋转；形状误差指表面几何形状与设计理想状态之间的偏差；随机误差（如粗糙度等）则反映零件表面微观凹凸不平的特性。这些误差共同影响零件的装配精度和最终产品的性能，因此在装配精度分析中需要综合考虑这些因素，以确保分析结果更加精准。

位姿误差包括定位误差与定向误差。假定在定位公差和定向公差的约束下，几何特征的定位误差和定向误差可以用小位移旋量来表示。几何特征的偏离通常分为平移矢量ρ=（u v w）^T和旋转矢量ε=（α β γ）^T，分别描述了几何特征在位置上的移动和在方向上的偏转，可以通过齐次坐标变换矩阵的形式使得这两组矢量的描述和运算更简洁。在齐次坐标中，平移矢量作为位移分量，而旋转矢量通过矩阵变换体现，最终通过齐次坐标变换矩阵T对几何偏差进行统一描述，即

式中，u、v、w分别表示沿着x、y、z轴平动的分量；α、β、γ分别表示沿着x、y、z轴转动的分量。

由于精密机械的公差域非常微小，在建模过程中，齐次坐标变换矩阵中的三角函数可以近似线性化为角度值，从而简化计算。对于常见的几何特征（如矩形面、圆环面和圆柱面），可以分别对其定位误差和定向误差进行建模。在建模中，t_p表示定位公差，用于约束特征在空间中的位置偏差；t_o表示定向公差，用于描述特征的角度变化；t_f表示形状公差，反映特征表面偏离设计形状的程度。

表1概述了矩形面、圆环面和圆柱面的建模方法，其中，每种几何特征的误差模型根据其形状和特性分别采用相应的参数化表达。

当有一组理想表面上的离散点Q时，其矩形面点云如图2（a）所示。通过齐次坐标变换得到带有位姿误差的表面点云，如图2（b）所示。此时，带有位姿误差的离散点Q的坐标S_p为

式中，f′为偏置表面的方程。

尽管基于旋量理论可以有效对位姿误差进行建模，但并不能有效地表征形状误差。因为形状误差通常涉及的是非理想表面，而非简单的平移或旋转，此类几何特征的偏差需要更复杂的建模方法来进行描述。目前已经提出了几种建模形状误差的方法，包括随机噪声法、网格变形法和基于模态的方法。本文采用基于模态的方法，形状误差可以通过基函数叠加的方式来建模，带有形状误差的表面上离散点的坐标可以表示为

式中，λ_i是与每个基函数g_i相关的权重系数，代表每种基函数在实际形状中的贡献。

为了建模形状误差，本文采用了3种不同的基函数，分别对应不同的几何特征。

（1）矩形面形状误差：采用DCT作为基函数，即

式中，m和n分别为沿x和y方向的采样点序号；e和f分别为x和y方向的频率；M和N分别为沿x和y方向的采样点数量。

（2）圆环面形状误差：采用泽尼克多项式（Zernike polynomials）作为基函数，即

其中，

式中，ρ和θ分别为极半径和极角；s′为求和角标；m′和n′分别为方位角频率和径向阶数。

（3）圆柱面形状误差：采用勒让德–傅里叶（Legendre–Fourier，L–F）多项式作为基函数，即

式中，r为圆柱面上点与轴线之间的距离；P_j是j阶勒让德多项式；i为角频率索引；A_ij和B_ij为展开系数；ζ为求和索引；r_kl为第k行、第l列采样点的半径；τ和σ分别为轴向和径向的采样点数。

以矩形平面为例，如图3所示，使用DCT可以得到带有形状误差的曲面离散点，误差范围在形状公差t_f范围内。离散点的形状误差是通过随机生成权重系数λ_i（式（3））来构造的，λ_i的值在–1和1之间随机分布。在随机生成一组系数后，需要进行形状误差评定，以确定是否满足设计要求的形状公差。如果评定结果显示误差未能满足形状公差要求，则必须进行修正。例如，可以通过缩放或调整系数的分布来限制形状误差在公差范围内。

在生成位姿误差和形状误差后，利用一维高斯函数生成粗糙度误差，即

式中，σ为高斯分布的方差；μ为粗糙度误差的平均值；r_n为高斯变量。

在获得位姿误差S_p、形状误差S_f及粗糙度误差S_r后，综合这些误差，通过求和得到带有位置、定向、形状和随机误差的离散表面，可表示为

式中，S_t为带有所有误差的离散点的z坐标。

S_p、S_f和S_r的离散点云被设置为具有相同的x–y坐标，求和是通过相应点的z坐标来实现的。从式（9）得到的S_t不一定符合t_p的约束，因此在生成S_t后，必须验证是否符合公差要求。如果不符合要求，则重新生成S_t，直到符合t_p的约束。图4展示了生成几何全误差模型的流程。

在装配过程中，零件在装配力作用下不可避免地发生变形，从而对装配精度产生影响。以矩形平面的装配为例，如图5所示，两零件在装配时受到的装配力主要造成两种变化。（1）接触面的整体变形：装配力导致零件接触面的变形，此处的接触面是指理想接触面；（2）装配精度改变：由于接触面形状的变化，零件的整体姿态可能发生偏移，具体表现为装配精度的改变。对于矩形平面装配，主要表现为绕x轴和y轴的旋转角度变化。

为了考虑受力变形的影响，首先利用有限元法分析理想零件在装配力作用下产生的变形；然后提取零件1和2的接触表面变形后的节点坐标，得到变形后的接触表面点云S^（1）和S^（2）；最后提取零件1顶面变形后的节点坐标{Q_i（x，y，z）}，拟合得到如下平面。

通过此平面，可以量化由装配变形引起的装配精度变化，对于矩形平面，绕x轴的旋转分量为α = b，绕y轴的旋转分量为β =–a（依据右手定则）。采用逆向变换对接触表面S^（1）上的点云进行修正以考虑零件整体姿态发生的偏移，变换式如下。

式中，$TR(Q_i^{(1)})$为逆变换后的节点坐标；$Q_i^{(1)}$为零件1接触表面S^（1）上的节点坐标；T^–1是齐次坐标变换矩阵的逆。

在获取由制造过程中产生的表面误差点云及因受力变形导致接触面变化的点云后，可以利用NURBS对零件表面进行重构。NURBS通过其灵活的数学描述能力，能够准确表达实际零件表面，综合考虑表面误差与受力变形的影响，为后续的装配精度分析提供更加精确的几何模型，从而提高装配精度分析的准确性。建立在节点矢量$\Xi =\{{\xi }_1^1，{\xi }_2^1，\dots ，{\xi }_{n+p+1}^1\}$和${\rm H}=\{{\xi }_1^2，{\xi }_2^2，\dots ，{\xi }_{m+q+1}^2\}$上的NURBS曲面可表示为

式中，P_ij为控制点；ω_ij为与控制点对应的权重；p、q为基函数的次数；N′为基函数，可通过Cox-de Boor公式得到^{[ [33]  PIEGL L, TILLER W. The NURBS Book[M]. Cham: Springer Berlin Heidelberg, 1997.
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33-36 ]}，即

对于式（14），可能存在分母为0的情况，此时基函数被定义为0。对于得到的点云数据{Q_kl}，由式（12）可知控制点{P_ij}和点云数据{Q_kl}之间的关系为

当使用单位权重时，式（15）可以写成矩阵形式，即

其中，可以采用向心法计算结参数（$\overline{{\xi }_k^1}，\overline{{\xi }_l^2}$），由式（13）和（14）得到基函数值。进一步由式（16）求得控制点，从而得到重构表面。

利用NURBS重构算法对零件表面制造误差与零件变形有限元分析数据进行融合，得到考虑形貌误差与受力变形的重构表面，为后续的装配精度分析奠定基础。具体的表面重构与融合流程如图6所示，在进行融合时，选择的是相同x–y位置处的点云，因此可以准确匹配融合。

在得到考虑表面误差和受力变形的重构表面后，进行装配精度的计算。为了评估装配精度，需要确定配合表面的相对位姿。以图7所示的重构表面配合为例，装配位姿的确定基于最小化两重构表面之间的距离。具体来说，首先将表面S^（1）进行离散化处理，转化为点云数据；然后，通过计算这些点云到另一重构表面S^（2）的最短距离之和，量化两表面之间的相对距离，进而评估装配精度。

为了找到离散点云中每个点对应的最近点，采用最近投影点方法进行搜索，利用该方法搜索与x^（1）对应的最近投影点$x_p^{（2）}$。则S^（1）上的一点x^（1）与S^（2）上一点x^（2）的距离为

可以通过最小化距离函数求解x^（1）点对应的最近投影点$x_{\text{p}}^{（2）}$，即

定义离散点云与投影点之间的距离函数为

式中，n^（2）是投影点处的单位外法线。当g_N >0时，两个重构表面彼此分离；当g_N <0时，两个重构表面发生穿透。

在装配精度的计算中，是通过对离散后的点云进行齐次坐标变换（即变换表面S^（1）的位姿后）计算装配精度的，齐次坐标变换后的点云坐标计算式为

式中，$x_{hi}^{（1）}$表示S^（1）上进行变换后的坐标；$x_i^{（1）}$表示S^（1）上进行变换前的坐标；r和t分别为S^（1）的旋转和平移矩阵。此时两重构表面之间的距离可以表示为

式中，N_s表示离散后的点云。此时，装配精度的计算是为了寻找一个装配位姿使得h的值最小，在实际装配中，两个零件不会相互穿透，因此求解装配精度转化为优化问题，即

具体的装配精度计算流程如图8所示，通过迭代求解直到满足收敛条件，此时的收敛条件是两次迭代的表面间距离的比值是否满足设定要求，即$\left|\frac{h_i}{h_{i+1}}-1\right|<\epsilon$。

针对两平面的装配进行分析，如图9（a）所示，两个零件的尺寸均为100 mm×100 mm×20 mm（长×宽×高），两接触面的定位公差为0.01 mm，形状公差为0.005 mm，粗糙度为0.001 mm。所用材料为Q235，弹性模量E为210000 MPa，泊松比为0.34。在装配连接中，最常见的是螺栓连接，此处将之等效为4处集中力的施加。在组装过程中，零件2的底部是固定的，零件1组装在零件2的顶部，在零件1的顶部施加4处集中力，如图9（b）所示。分别进行3组不同装配力的施加，如表2所示。其中，第1组不施加装配力，第2组施加不均匀的装配力，第3组施加均匀的装配力。

首先利用ABAQUS进行受力变形分析，以第2组为例，所得位移云图及点云提取如图10所示。其中，图10（a）是整体位移云图，因装配力的施加，产生了不均匀变形，使得整体位姿发生变化，利用2.2节提出的方法可以得到零件1绕x轴的偏转角度为–1.79×10^–6 rad，绕y轴的偏转角度为–1.79×10^–6 rad。图10（b）和（c）分别是零件1和2接触面的位移云图，提取出的接触面节点坐标（点云）分别如图10（d）和（e）所示，接触面因施加装配力而产生变形。此外，对零件1的接触面节点坐标进行逆齐次坐标变换以考虑变形对整体位姿的影响。

然后利用2.3节提出的方法得到融合表面形貌与受力变形的零件表面模型，并利用第3节提出的方法进行装配精度的计算。进行1000次模拟试验，得到3组装配方案的仿真模拟结果（图11），主要分析x方向的转角θ_x及y方向的转角θ_y。

利用最大似然估计拟合得到每组装配的正态分布曲线，如图12所示，拟合得到的均值和标准差如表3所示。通过对比第1组与第3组模拟结果发现，不施加装配力与施加均匀装配力的结果差别较小，这是因为两种情况下，装配平面所受力是均匀的，所以两种情况下所得结果差别较小。对比第1组与第2组模拟结果发现，不施加装配力与施加不均匀装配力的结果差别较大，这是由于装配力造成的变形及零件整体位姿的变化引起的。因此可知，装配力的大小及其分布会对装配精度造成影响。

针对两柱面的过盈配合进行分析，如图13所示。其中，零件1的尺寸为50 mm×70 mm×60 mm（内径×外径×高），零件2的尺寸为30 mm×50 mm×60 mm，两接触面的定位公差为0.01 mm，形状公差为0.005 mm，粗糙度为0.001 mm。在组装过程中，零件1的外表面是固定的，零件2装入零件1中。分别进行两组装配，第1组的过盈量为0，第2组的过盈量为0.015 mm。

首先利用ABAQUS进行受力变形分析，以第2组为例，为添加过盈量，设置零件1内圆柱半径为24.998 mm，零件2外圆柱半径为25.013 mm，过盈量为0.015 mm。整体变形结果如图14所示，可以看出，因过盈量的存在，零件产生变形。其中，图14（d）和（e）中的不同颜色代表节点在径向的不同位移。

然后，生成融合表面形貌与受力变形的零件表面模型，并计算装配精度。经1000次模拟试验，得到图15所示的装配仿真结果，重点分析沿x方向的转角θ_x和y方向的转角θ_y。

利用最大似然估计拟合得到的正态分布曲线如图16所示，拟合得到的均值和标准差见表4。通过对比两组模拟结果发现，过盈量导致零件的接触表面发生形变，从而影响装配精度。

围绕装配精度分析这一关键问题，本文提出了一种综合考虑零件形貌误差与受力变形的研究方法，包括表面误差建模，变形分析与融合重构，以及装配精度评估3个核心步骤，从理论建模和试验验证揭示了装配条件对精度的影响。

（1）采用小位移旋量模型对零件的定位和定向误差进行建模，并通过基函数叠加法构建形状误差模型，同时引入高斯函数生成随机噪声。该表面误差模型能够全面表征零件的定位/定向误差、形状误差及粗糙度。

（2）利用有限元法分析零件在受力状态下的变形行为，并将表面误差模型与变形信息相结合，采用NURBS进行表面重构和融合。通过这一过程，生成了一个全面考虑形貌误差和受力变形的零件表面模型，为装配精度分析奠定了基础。

（3）基于点到面的最近投影点法，采用优化方法对典型装配案例进行装配精度分析。平面螺栓连接和柱面过盈配合的模拟试验结果表明，该方法能够有效评估装配条件对装配精度的影响。