五轴机床是航空发动机叶轮、航空结构件、船用螺旋桨和燃气轮机叶片等复杂曲面零件高效、高质加工所需的核心装备^{[ [1] HU Q, CHEN Y P, YANG J X. On-line contour error estimation and control for corner smoothed five-axis tool paths[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2020, 171: 105377.
1 ]}。跟随误差是五轴机床的重要误差源，其大小和协调性直接影响联动轨迹轮廓误差和零件的加工误差。复杂曲面零件加工轨迹曲率变化大、进给加速度高，跟随误差和联动轨迹轮廓误差控制难度大。在实际加工中，往往采用极低的速度和加速度，以牺牲加工效率的方式保证联动轨迹轮廓精度和零件加工精度。数控机床是加工NC代码的被动执行者，在加工前不能预测联动轨迹轮廓误差，也无法对其进行调控。特别是在生产线上，由于无法及时发现零件加工精度是否超差，又缺乏对其进行在线调控的必要手段，若是在加工后期发现加工精度超差，不但会影响零件的加工效率，还可能造成零件直接报废。因此，在加工前对联动轨迹轮廓误差进行预测并进行及时调控，是提升复杂曲面零件加工精度和效率必须突破的技术瓶颈。

联动轨迹轮廓误差源于各轴跟随误差的不协调。匹配各轴伺服增益，协调各轴跟随误差的大小，是控制联动轨迹轮廓误差的方法之一。匹配各轴伺服参数的思想最早由Poo等^{[ [2] POO A N, BOLLINGER J G, YOUNKIN G W. Dynamic errors in type 1 contouring systems[J]. IEEE Transactions on Industry Applications, 1972, IA-8(4): 477–484.
2 ]}在研究直线轨迹轮廓误差时提出，其研究揭示了直线轨迹轮廓误差源于各轴伺服参数不匹配造成的各轴跟随误差不协调。对于五轴伺服参数匹配，尚未建立全面系统的方法，国内外学者仅仅针对一些特定测试轨迹，对各轴伺服参数的匹配性进行了探索。Smith^{[ [3] SMITH D A. Wide bandwidth control of high-speed milling machine feed drives[D]. Gainesville: University of Florida, 1999.
3 ]}在辨识五轴机床各轴伺服带宽差异的基础上，为大带宽轴增加延时环节，降低其进给速度，使之与小带宽轴同步。Lei等^{[ [4] LEI W T, PAUNG I M, YU C C. Total ballbar dynamic tests for five-axis CNC machine tools[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2009, 49(6): 488–499.
4 ]}采用球杆仪测试五轴伺服系统的动态性能，通过调整速度增益，匹配各轴动态性能。Kong等^{[ [5] KONG X Y, WANG L P, YU G. Simulation and analysis of RTCP error caused by servo mismatch of a five-axis hybrid machine tool[C]//Proceedings of 2022 IEEE International Conference on Robotics and Biomimetics (ROBIO). Piscataway: IEEE, 2022.
5 ]}分析了由于伺服参数不匹配导致的旋转刀具中心点误差。Ding等^{[ [6] DING Q C, WANG W, LEI F M, et al. Extension of a multi-trigonometric-function-based axis motion plan for RTCP tests aimed at five-axis machine tool dynamic control accuracy[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2022, 120(9): 6921–6957.
6 ]}采用旋转刀具中心点（RTCP）测试研究了不同运动规划方法对轴运动的影响。Duong等^{[ [7] DUONG T Q, RODRIGUEZ-AYERBE P, LAVERNHE S, et al. Contour error pre-compensation for five-axis high speed machining: Offline gain adjustment approach[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2019, 100(9): 3113–3125.
7 ]}在前述两轴伺服匹配的基础上，建立了点铣轮廓误差计算模型，用于多轴联动轨迹的离线增益调整。Kong等^{[ [8] KONG X Y, WANG L P, YU G, et al. Research on servo matching of a five-axis hybrid machine tool[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2023, 129(1): 983–997.
8 ]}提出了伺服响应指标，通过轨迹测试和参数辨识完成伺服匹配。Osei等^{[ [9] OSEI S, WEI W, YU J H, et al. A new effective decoupling method to identify the tracking errors of the motion axes of the five-axis machine tools[J]. Journal of Intelligent Manufacturing, 2024, 35(7): 3377–3392.
9 ]}溯源引起轮廓误差的特定运动轴，通过匹配该轴的伺服参数降低轮廓误差。上述研究中，增益始终是间接求解变量，需要通过动力学模型、正运动学变换及轮廓误差求解等众多过程，才能与轮廓误差建立联系。增益求解的计算量极大，运算耗时极长，严重限制了伺服匹配方法走向工程应用。因此，寻求一种针对具体零件的各轴增益校正方法，并通过建立增益与零件轮廓误差的直接联系，实现各轴增益快速求解，是促进伺服匹配方法走向应用的关键问题。

2023年，Lyu等^{[ [10] LYU D, YE X X, ZHANG H J, et al. Offline fast modification of position loop gains for five-axis machining[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2023, 127(7): 3951–3963.
10 ]}建立了五轴机床轮廓误差与各轴位置环增益的显函数关系，克服了传统伺服增益匹配方法因模型复杂而造成的求解效率低的问题，为推动伺服参数匹配方法的工程应用奠定了理论基础。本文基于五轴机床轮廓误差与各轴位置环增益的显函数关系，建立各轴位置环增益动态匹配模型，提出五轴机床联动轨迹精度的智能控制流程，通过“自我感知”各轴指令位置与跟随误差、“自我分析”联动轨迹轮廓误差超差位置、“自我决策”最优轮廓误差及对应位置环增益，为不同零件配置专属增益，以保证复杂曲面零件加工精度。

考虑到当前商用数控机床的各进给轴伺服控制系统通常采用包含位置环增益、速度前馈系数等多项伺服参数的“三环+前馈”控制方式来抑制跟随误差，因此建立如图1所示的数控机床伺服控制系统控制框图来表征商用数控系统。

该控制框图的闭环传递函数为

式中，K_t为电机力矩常数，K_vp为速度环增益，K_vi为速度环积分时间，K_f为速度前馈系数，K_p为位置环增益，M为机械系统的质量，b为机械系统的阻尼，s为拉普拉斯算子。

设θ_r（t）为t时刻输入伺服控制系统的指令信号。将指令信号的响应θ_o（t）在时域展开^{[ [10] LYU D, YE X X, ZHANG H J, et al. Offline fast modification of position loop gains for five-axis machining[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2023, 127(7): 3951–3963.
10 ]}，得到

式中，L^–1为拉普拉斯逆变换；v_r（t）、a_r（t）、j_r（t）分别为t时刻的指令速度、指令加速度和指令加加速度。将式（1）代入式（2），建立的跟随误差与系统位置环增益的函数关系为

在数控系统中，通常将速度前馈系数K_f设为1。此时，系统的跟随误差主要由加速度a和加加速度j引起，即

根据五轴机床各轴伺服进给系统的实际参数，加加速度j的第3项系数远小于前项之和，因此可以忽略加加速度项中的系数$b/(K_p^2{K}_t^{}{K}_{vi}^2)$，此时单轴跟随误差与位置环增益近似成反比。假定位置环增益由K_p调整为$K_p^{*}$，则跟随误差由e变化为e^*，即

根据铣削加工中刀具与加工表面的几何关系，可建立五轴加工联动轨迹轮廓误差与刀尖位置轮廓误差、刀具方向轮廓误差和跟随误差的表达式^{[ [10] LYU D, YE X X, ZHANG H J, et al. Offline fast modification of position loop gains for five-axis machining[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2023, 127(7): 3951–3963.
10 ]}，即

式中，ε_c为联动轨迹轮廓误差，ε_P为刀尖位置轮廓误差，ε_O为刀具方向轮廓误差，L为计算轮廓误差处与对应刀尖点位置之间的距离，n_c表示曲面轮廓的法向矢量。J_C（θ_r）为包含刀尖位置与刀具方向轮廓误差的雅各比矩阵函数，J_O（θ_r）为各进给轴在θ_r位置处刀具方向求解函数的雅克比矩阵，J_P（θ_r）为刀尖位置求解函数的雅克比矩阵，λc代表插补点处从指令轨迹到实际轨迹最短距离对应的矢量。将式（5）代入式（6）可得到轮廓误差随机床增益的变化表达式，即

式中，K_p表示五轴机床各进给轴的原始位置环增益值，$K_p^{*}$表示机床匹配某零件后各进给轴位置环增益，${\epsilon }_c^{*}$为增益调整后零件轮廓误差，e为原始增益下的跟随误差。

通过式（7）可知，零件轮廓误差与机床初始增益K_p、某零件/轨迹加工时的跟随误差等参数有关。对于复杂曲面零件而言，由于不同零件加工轨迹曲率不同、速度加速度也不同，造成各轴跟随误差不尽相同。因此，针对不同零件，通过在加工前检测各轴跟随误差，判断联动轨迹轮廓误差是否超过零件轮廓精度要求。若超差，则可调整各轴增益至$K_p^{*}$，使得联动轨迹轮廓误差${\epsilon }_c^{*}$满足零件轮廓精度要求。

根据式（7），设计面向零件轮廓精度的五轴机床位置环增益智能匹配方法，如图2所示。在五轴机床各轴位置环初始增益K_p下加工某零件。在加工前“自我感知”各轴跟随误差，“自我分析”由各轴跟随误差造成的联动轨迹轮廓误差及超差位置，如果超差则通过式（7）“自我决策”一组新的增益，并将新增益赋予伺服驱动器，为该零件配置专属的位置环增益，达到提高轮廓精度的目的。

将加工零件G代码输入五轴机床的数控系统，在加工前空运行G代码，根据数控系统的插补周期生成序列长度为n的插补指令，以及对应的n个插补位置的指令数据和光栅反馈数据。对插补位置序号为m处采集的指令数据和光栅反馈数据进行求差，可得到该插补位置各轴的跟随误差，即

式中，e为跟随误差，θ_r为指令数据，θ_a为光栅反馈数据，i为轴号，m为插补位置序号。

记加工轨迹的插补位置m处跟随误差E（m），得到

加工轨迹共n处插补位置，记加工轨迹的跟随误差E，得到

五轴点铣和侧铣加工的联动轨迹如图3所示。

对于点铣加工，刀尖点轨迹即为联动轨迹图3（a），因此求解联动轨迹轮廓误差处与对应刀尖点位置距离L为0，将“自我感知”得到加工轨迹跟随误差E代入式（6），可得到点铣加工的联动轨迹轮廓误差ε_c，d与跟随误差表达式，即

通过式（11）计算点铣加工联动轨迹轮廓误差，得到

通过对比联动轨迹轮廓误差与零件轮廓公差要求，可分辨超差轮廓误差与合格轮廓误差，并分别标记其所在的插补位置序号，即

式中，P_c，d为点铣联动轨迹中超差轮廓误差处的插补位置序号集合，Q_c，d为点铣联动轨迹中合格轮廓误差处的插补位置序号集合，j和k为超差轮廓误差处对应的插补位置序号，f和g为合格轮廓误差处对应的插补位置序号。

对于侧铣加工非可展直纹曲面，联动轨迹为刀轴矢量轨迹，其刀尖点轨迹为底部轨迹，轴向切深位置的轨迹为顶端轨迹，如图3（b）所示。将“自我感知”得到加工轨迹跟随误差E带入式（6），可得到侧铣联动轨迹轮廓误差ε_c，s与跟随误差表达式，即

由式（14）可知，侧铣加工中，任意插补位置处的联动轨迹轮廓误差与L呈线性关系，因此侧铣联动轨迹轮廓误差极值出现在刀尖点位置或刀轴切深位置，因此仅计算刀尖点位置和刀轴切深位置处的轮廓误差，即可判断侧铣的联动轨迹是否超差。记刀尖点轨迹为底部轨迹，刀轴切深位置轨迹为顶端轨迹，将底部轨迹和顶端轨迹的轮廓误差记为

式中，${\epsilon }_{c，s}^b$为底部轨迹的轮廓误差，${\epsilon }_{c，s}^t$为顶端轨迹的轮廓误差。

对比底部、顶端轨迹的轮廓误差与零件轮廓公差要求，若任意插补位置m处底部轨迹的轮廓误差${\epsilon }_{c，s}^b（m）$或顶端轨迹的轮廓误差${\epsilon }_{c，s}^t（m）$超差，则认定该插补位置轮廓误差超差，反之则合格。由此得到超差轮廓误差和合格轮廓误差，并标记其所在的插补位置序号为

式中，P_c，s为侧铣联动轨迹中超差轮廓误差处的插补位置序号集合，Q_c，s为侧铣联动轨迹中合格轮廓误差处的插补位置序号集合。

为了便于后续描述，将点铣与侧铣联动轨迹中超差位置对应的轮廓误差统一记为ε_c（P），合格位置对应的轮廓误差统一记为ε_c（Q）。

针对零件的超差位置，建立如式（17）所示的位置环增益匹配函数，使得匹配后的联动轨迹轮廓误差${\epsilon }_c^{*}（P）$符合公差要求。

匹配后的位置环增益$K_p^{*}$在满足式（17）的前提下，还需要满足系统的稳定性要求，以及不会导致原本合格区域的轮廓误差${\epsilon }_c^{*}（Q）$发生超差的要求，约束函数为

式中，K_{p min}为满足系统稳定性要求下的位置环增益可取最小值，K_pmax为满足系统稳定性要求下的位置环增益可取最大值。

匹配函数在约束条件下求解得到的位置环增益并非唯一解。为了在求解得到的位置环增益中找到最优的一组解，引入评价指标Y，定义为超差区域的联动轨迹轮廓误差最大绝对值，即

通过式（19），将位置环增益求解问题转化为：在位置环增益的可行域之内找到一组最优增益值使得联动轨迹轮廓误差最大绝对值最小的问题，即

将上述约束函数都记为$R（K_p^{*}）$，假定其包含约束函数的个数为r，建立的拉格朗日函数为

式中，λ=[λ₁……λ_r]为拉格朗日乘子。

计算式（21）中的拉格朗日函数的梯度方向，其函数表示式为

采用牛顿迭代法计算$\nabla L（K_p^{*}，$的$K_p^{*}$值，该值即为优化得到的最优位置环增益。

试验机床为AC摇篮结构五轴立式加工中心KMC400U，工作台直径400 mm，主轴移动速度最高可达48000 mm/min，选用GNC62总线式数控系统，如图4所示。该机床X、Y、Z、A和C轴的初始位置环增益K_p为（70，70，80，70，75）。

选取如图5（a）所示的标准S形试件的直纹面A（下文简称S形试件）和如图5（b）所示叶轮小叶片吸力曲面（下文简称叶轮）为加工零件。S形试件轮廓尺寸为310 mm×210 mm×80 mm，采用侧铣方式进行精加工。叶轮零件由9片小叶片与9片大叶片组成，进口直径为41 mm，后盘外轮廓直径为173 mm，采用侧铣方式进行精加工。

加工前运行两个零件的G代码，采集指令位置数据及光栅数据，判断零件轮廓误差是否达到公差要求；如果不满足要求，则利用本文方法为两个零件智能匹配专属增益，随后将新增益输入数控机床。工程上通常使用三坐标仪测量零件轮廓误差，而本文方法无须实际加工，通过检测增益匹配前后的跟随误差，计算轮廓误差，即可验证匹配前后对轮廓误差的控制效果。

分别编写S形试件、叶轮的加工G代码，将G代码输入到试验机床的数控系统中；运行机床，同步读取光栅数据与指令位置数据；根据式（8）计算各插补位置跟随误差数据，得到S形试件和叶轮加工中机床各轴跟随误差E。

如图6（a）所示，S形试件X、Y、Z、A、C轴最大跟随误差分别为10 μm、17 μm、35 μm、0.002°、0.027°；如图6（b）所示，叶轮零件X、Y、Z、A、C轴最大跟随误差分别为49 μm、76 μm、57 μm、0.079°、0.042°。

S形试件为侧铣加工，因此将“自我感知”采集到的跟随误差E代入式（14），可得到S形试件加工中机床联动轨迹的轮廓误差ε_c，s，如图7所示。其中，图7（a）表示轮廓误差的梯度分布，误差的正负表示误差的方向，正值表示过切方向，负值表示欠切方向，最大轮廓误为37 μm；图7（b）紫色区域表示轮廓误差超差位置，绿色区域表示合格位置，零件轮廓公差为[–20 μm，20 μm]。

叶轮为侧铣加工，同样将“自我感知”采集到的跟随误差E带入式（14），可得到联动轨迹轮廓误差ε_c，s。如图8（a）所示，最大轮廓误差为63 μm；图8（b）紫色区域表示轮廓误差的超差位置，绿色区域表示合格位置，叶轮轮廓误差公差为[–50 μm，50 μm]。

将机床五个轴增益调整的下限K_{p min}设为（40，40，40，40，40）。为避免因增益过高引起机床进给轴的振动，5个轴增益调整的上限K_pmax设为机床的初始增益（70，70，80，70，75）。

将上述条件带入式（17）和（18），分别得到S试件和叶轮的约束条件，即

以S形试件和叶轮的最大轮廓误差为评价指标，代入式（19），求解使最大轮廓误差最小的位置环增益，即

经过式（23）、（24）和（25）计算，为S形试件匹配的机床位置环增益$K_p^{*}$为（70，68，80，59，70），计算耗时38.4 s；为叶轮匹配的增益$K_p^{*}$为（40，70，48，40，75），计算耗时5.7 s。

将“自我决策”得到的机床增益$K_p^{*}$，输入到机床的数控系统中，保持其他参数不变，重新运行相同G代码空运行机床，通过“自我感知”采集匹配位置环增益后的跟随误差，并通过“自我分析”方法计算联动轨迹的轮廓误差。

图9为机床增益匹配前后S形试件的联动轨迹轮廓误差对比。根据S形试件的公差，机床在原增益下共有4处位置出现超差。增益匹配前，在超差位置P₁、P₂、P₃和P₄处，轮廓误差分别为22 μm、26 μm、24 μm和32 μm。增益匹配后，4个位置的轮廓误差分别降低至15 μm、17 μm、13 μm和18 μm。S形试件匹配后，最大轮廓误差由32 μm降至18 μm，降低了43.75%，轮廓误差符合公差要求。

图10为增益匹配前后叶轮的轮廓误差对比。原增益下共有1处位置出现超差，轮廓误差为63 μm。增益匹配后，轮廓误差由63 μm降低至45 μm，降低了28.57%，满足了零件公差要求。

本文基于轮廓误差与位置环增益的显函数关系，提出了五轴机床加工不同零件的专属增益智能配置方法，得到以下结论。

（1）基于“自我感知”、“自我分析”、“自我决策”的五轴机床位置环增益智能匹配方法，通过“自我感知”各轴指令位置与光栅反馈位置、“自我分析”联动轨迹轮廓误差超差位置、“自我决策”最优位置环增益，提高了复杂曲面零件的加工精度。

（2）五轴立式加工中心各轴位置环增益为（70，70，80，70，75），为S形试件配置专属增益（70，68，80，59，70）后，最大轮廓误差降低了43.75%；为叶轮配置专属增益（40，70，48，40，75）后，最大轮廓误差降低了28.57%。

（3）本文方法能够快速为不同零件计算专属增益，S试件专属增益的计算时间为38.4 s，叶轮的计算时间为5.7 s，可满足工程应用要求。