角铣头作为一种连接机床主轴和刀具的特殊装备，是在不改变既有机床结构的前提下，提升复杂零件加工效率的有效解决方案。然而，为确保对深孔、深腔等结构特征的加工灵活性与适应性，角铣头的长径比往往较大，易导致末端刚度不足，继而使得刀具与工件产生有害的相对运动，引发严重颤振问题，最终极大降低零件的精度、表面质量，甚至影响刀具寿命^{[ [1]  李海. 飞机复杂结构件角度头加工技术[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2012.LI Hai. Angle head machining technology for aircraft complex structural parts[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2012.
1 ]}。因此，研究高效、可靠的角铣头振动抑制装置，对于进一步提升角铣头的加工效率与质量并拓展其应用范围，具有一定的工程实用意义。

动力吸振器作为附加于被抑振对象之上的振动子系统，能够以最小化的结构改动实现振动的高效抑制，是改善角铣头弱刚度、提升切削稳定性的有效途径。动力吸振器的概念最早由Frahm^{[ [2]  FRAHM H. Device for damping vibrations of bodies: US989958 A[P]. 1911.
2 ]}提出，该系统由一个质量元件和一个刚度元件组成，将质量块通过弹簧安装在主结构上以实现减振。Den Hartog等^{[ [3]  DEN HARTOG J P, ORMONDROYD J. The theory of the dynamic vibration absorber[J]. ASME Journal of Applied Mechanics, 1928, 50: 9–22.
3 ]}在Frahm的模型基础上增加了阻尼单元，创建了由质量–刚度–阻尼元件组成的Voigt构型动力吸振器。理论研究层面，Asami等^{[ [4]  ASAMI T, NISHIHARA O. Analytical and experimental evaluation of an air damped dynamic vibration absorber: Design optimizations of the three-element type model[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 1999, 121(3): 334–342.
4 ]}证明了在相同质量比的条件下，阻尼元件上附加刚度元件的三要素动力吸振器减振效果优于Voigt吸振器；Ren^{[ [5]  REN M Z. A variant design of the dynamic vibration absorber[J]. Journal of Sound and Vibration, 2001, 245(4): 762–770.
5 ]}将阻尼器的阻尼元件直接接地，同样获得了更好的减振效果；Nishihara等^{[ [6]  NISHIHARA O, ASAMI T. Closed-form solutions to the exact optimizations of dynamic vibration absorbers (minimizations of the maximum amplitude magnification factors)[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2002, 124(4): 576–582.
6 ]}给出了H_∞优化方法参数的精确解析解，该优化算法能够实现刀具动力吸振器参数的优化，对于特定频率、带宽较窄的振动激励具有较好的应用效果。工程应用层面，李伟家等^{[ [7]  李伟家, 沈春根, 马永, 等. 被动阻尼减振铣刀的结构设计及振动特性分析[J]. 工具技术, 2019, 53(8): 56–60.LI Weijia, SHEN Chungen, MA Yong, et al. Structure design and vibration optimization analysis of passive damping anti-vibration milling cutter[J]. Tool Engineering, 2019, 53(8): 56–60.
7 ]}设计了一种嵌入铣刀的单自由度阻尼吸振器，使得铣刀的频域内最大响应振幅降低了约37.2%；Yang等^{[ [8]  YANG Y Q, WANG Y F, LIU Q. Design of a milling cutter with large length-diameter ratio based on embedded passive damper[J]. Journal of Vibration and Control, 2019, 25(3): 506–516.
8 ]}设计了一种嵌入了单自由度被动阻尼器的阻尼刀具，有效提高了刀具的加工精度和加工稳定性；Moradi等^{[ [9]  MORADI H, BAKHTIARI-NEJAD F, MOVAHHEDY M R, et al. Stability improvement and regenerative chatter suppression in nonlinear milling process via tunable vibration absorber[J]. Journal of Sound and Vibration, 2012, 331(21): 4668–4690.
9 ]}设计了一种参数可调的动力吸振器，用于板材铣削过程中的振动抑制，提高了工艺稳定性极限，获得了更大的切削深度；Saadabad等^{[ [10]  SAADABAD N A, MORADI H, VOSSOUGHI G. Global optimization and design of dynamic absorbers for chatter suppression in milling process with tool wear and process damping[J]. Procedia CIRP, 2014, 21: 360–366.
10 ]}设计了一种减振铣刀，并提出一种多回路优化算法对内嵌吸振器进行优化设计，实现了铣刀切削颤振的最优抑制。

近年来，针对单自由度吸振器在抑制多自由度主振系统时性能欠佳的难题，研究通过在吸振器质量单元中引入多个运动自由度，提出了新型的多自由度动力吸振器^{[ [11]  ZUO L, NAYFEH S A. Minimax optimization of multi-degree-of-freedom tuned-mass dampers[J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 272(3–5): 893–908.
11 ]}。Yang等^{[ [12]  YANG Y Q, DAI W, LIU Q. Design and implementation of two-degree-of-freedom tuned mass damper in milling vibration mitigation[J]. Journal of Sound Vibration, 2015, 335: 78–88.
12 ]}采用两自由度动力吸振器对一弱刚性工装进行了单模态抑制，切削试验表明，在加装该吸振器后，铣削加工的最大稳定切深提高了4.3倍。Ma等^{[ [13]  MA W S, YANG Y Q, JIN X L. Chatter suppression in micro-milling using shank-mounted Two-DOF tuned mass damper[J]. Precision Engineering, 2021, 72: 144–157.
13 ]}设计了一种外装于微铣刀的多自由度动力吸振器，使得临界稳定切深提高了10倍，该研究团队还设计了一种用于并联机床的串联多重单自由度动力吸振器，实现了该并联机床单振动模态的有效抑制^{[ [14]  MA W S, JIN X L, YU J J, et al. Oppositely oriented series multiple tuned mass dampers and application on a parallel machine tool[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2022, 163: 108196.
14 ]}。Wu等^{[ [15]  WU S Q, LI H X. A data-driven design method of distributed dynamic vibration absorber for broadband vibration suppression of thin-walled structures[J]. Thin-Walled Structures, 2023, 182: 110264.
15 ]}提出了一种数据驱动的宽频带密集激励分布式动力吸振器的设计方法，并验证了基于该方法的设计能够实现较好的减振效果。Wang等^{[ [16]  WANG M, QIN P, ZAN T, et al. Improving optimal chatter control of slender cutting tool through more accurate tuned mass damper modeling[J]. Journal of Sound and Vibration, 2021, 513: 116393.
16 ]}提出一种内嵌于细长刀具的吸振器精确建模方法，并验证了所提建模方法在提升优化精度和实用性方面的优势。Qin等^{[ [17]  QIN P, LIU Y N, WANG M, et al. Milling vibration control of semiconical shell workpiece with multiple distribution tuned mass dampers[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2021, 115(7): 2175–2190.
17 ]}提出了一种抑制半壳体横向振动的吸振器优化设计方法，试验结果表明，该方法可有效提高半壳体工件的横向动刚度，从而抑制其铣削振动。Yuan等^{[ [18]  YUAN H, WAN M, YANG Y. Design of a tunable mass damper for mitigating vibrations in milling of cylindrical parts[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2019, 32(3): 748–758.
18 ]}设计了一种用于抑制圆柱件铣削过程中颤振的动力吸振器，以临界轴向切削深度的最大化为目标函数，并采用顺序二次规划算法对吸振器参数进行了优化，试验结果表明，该设计具有良好的抑振性能和铣削稳定性提升效果。

本研究针对角铣头的空间振动特性，设计了一种具有两自由度的动力吸振器，并依次对该吸振器进行了动力学建模、数值优化、结构设计。最后通过模态测试与切削试验，对其抑振性能进行了验证。该动力吸振器实现了切削过程中的振动抑制，提高了切削加工效率及精度，为类似的工程抑振问题提供可行的参考方案。

图1为用于具有深腔特征零件铣削加工的某型角铣头，主要由主悬臂、刀柄和内部的传动机构组成。不同于安装在数控机床主轴上的常规刀柄，角铣头刀柄轴线与主轴呈90°夹角，且刀具与主轴按一定传动比旋转。其中，主悬臂的长径比约为7（长度1200 mm，直径170 mm），是工艺系统中的刚度薄弱环节，严重影响加工的质量、稳定性与安全性。

动力学参数的精确设计是吸振器能否发挥最优抑振性能的必要条件。为此，需要对角铣头开展模态试验，并基于模态试验的结果建立角铣头–动力吸振器系统的动力学模型，为后续参数优化提供理论依据。首先，基于ANSYS Workbench平台，对角铣头进行了有限元仿真，旨在为模态测点布置提供依据。在对角铣头一端施加固定边界条件，并使刀柄端自由后，求解所得振型如图2（a）和（b）所示，可以看出，其一阶模态振型为绕其轴线且分别沿两正交轴方向的弯曲。在此基础上，为规避振型节点，制定各模态测点布局并定义全局坐标系，如图2（c）所示。其中，L为角铣头悬臂梁的悬长；测点1旨在测量主悬臂在吸振器安装位置处的动力学特性，为吸振器的抑振建模提供支撑；测点2则将在后续试验中用于切削颤振稳定性预测，以进一步验证吸振器对切削稳定性的提升效果。

在模态测试过程中，采用的硬件及软件设施包括配备金属和橡胶锤头的PCB小型力锤（灵敏度2.25 mV/N）、8776B050A加速度传感器（灵敏度106.8 mV/g）、NI9234采集卡、Cutpro9.3数据分析软件。模态测试结果表明，角铣头一阶弯曲振动模态频率为38 Hz。现忽略由角铣头结构不完全对称导致的模态特性在Y、Z轴方向上的细微差别，经Cutpro参数辨识，得到角铣头在测点1和2的横向等效动力学参数，如表1所示。

在所得角铣头动力学参数的基础上，对角铣头–动力吸振器系统进行动力学建模，进而开展吸振器动力学参数最优设计，为后续的结构设计提供理论依据。鉴于角铣头频响函数的最大振动幅值出现在其一阶弯曲模态处（38 Hz），因此认定角铣头的第一阶弯曲模态为影响切削稳定性的主导模态，并将该模态作为吸振器抑振的目标模态。随后，基于测点1辨识的角铣头动力学参数，若忽略角铣头结构沿Y、Z方向的轻微非对称性，则加装吸振器的角铣头沿两正交方向的动力学特性可简化为图3所示的等效动力学模型。

设该简化两自由度系统在坐标X₀处受到一外部简谐激励F₀e^jωt，其中，ω为简谐激励的角速度，t为时间，j为虚数符号，则其运动微分方程为

式中，X=[X₀，x₁]^T，为广义位移向量；F=[F₀e^jωt，0]^T，为广义力向量；M、C、K分别为系统的质量、阻尼与刚度矩阵。

对上式进行傅里叶变换，并提取频响函数矩阵对应元素，得到安装吸振器的角铣头沿Y或Z方向的频响函数如下。

式中，k₀为主结构的等效刚度；β、β₁、μ、ζ_i（i=0，1）为系统的无量纲动力学参数，如下所示。

式中，ω_i（i=0，1）为对应空间振动自由度与地面连接时的无阻尼固有频率；k_i、m_i和c_i（i=0，1）分别为对应空间振动自由度的质量、刚度和阻尼。

考虑到较大的质量比可以提高减振效果，同时，为保证实际结构的可加工性，质量元件尺寸不宜过小。因此，取质量元件的质量为3.09 kg（质量比为6%）。基于H_∞准则对动力吸振器进行优化，得到的优化参数如表2所示。

由于切削稳定性由刀具在两个正交方向上的动力学特性共同决定，因此吸振器应具备两个平移自由度以对这些方向上的振动分别加以抑制。相较于单自由度吸振器，两自由度吸振器能够有效抑制刀具在旋转过程中产生的涡振，使得切削稳定性得到进一步提升。为最大限度地减少对角铣头的结构修改，同时避免加工时与零件发生干涉，吸振器应满足紧凑结构的设计要求。因此，采用并联构型对吸振器进行设计，并基于精确约束设计的图谱法给出了吸振器的构型设计流程，如图4所示。

首先，根据吸振器抑制微铣刀振动的自由度设计要求，可确定其自由度空间应包含两个正交的平移自由度（图4（a））。根据自由度与约束的互易准则得到吸振器的约束空间，应至少包含3条平行的约束力线（图4（b））。进一步地，为便于零部件的加工与装配，吸振器的刚度支撑单元采用对称空间布置，即采用4根相同的细长梁替代约束力线，该细长梁的截面为正方形（图4（c），其中t和L₁分别为细长梁的截面长度和悬长），约束力偶则通过阻尼单元的摩擦力矩实现。

根据所得吸振器构型，对吸振器的结构进行设计，如图5所示。其结构主要由刚度单元、阻尼单元及质量单元组成。质量单元通过螺钉固定在刚度单元上，二者的相对位置可调，并可通过改变刚度单元的有效悬长实现吸振器固有频率的连续调节。质量单元材料为45#钢，其余部件材料均为7075铝合金，阻尼则通过阻尼元件和质量元件之间的摩擦实现。

根据得到的最优频率计算刚度单元的尺寸。在固定–自由边界条件下，设铝梁自由端施加有一集中力F，同时受质量元件及压紧箍的作用力矩M_e。

对于质量元件施加力F的情况，悬臂梁的转角θ₁及挠度w₁为

式中，L为悬臂梁的悬长；E为悬臂梁材料的弹性模量；I为悬臂梁截面的惯性矩。

对于质量元件及压紧箍施加力矩M_e的情况，悬臂梁的θ₂及挠度w₂为

由图4可知，吸振器质量块沿Y、Z轴的转动自由度被完全约束，则单根悬臂梁末端转角和挠度可分别根据吸振器的位移协调条件得到，即

则吸振器的静刚度为

式中，a为悬臂梁截面的长度。

进一步地，得到吸振器的固有频率为

结合所得最优动力学参数，可求得刚度单元的特征尺寸参数，如表3所示。

mm

为了对重力作用下吸振器质量单元的形变进行预测，继而防止与其他部件发生干涉，对装载动力吸振器的角铣头开展了静力有限元仿真。沿Z轴施加重力场，并根据表4定义材料的力学参数。

结果表明，在自然重力（G）下，动力吸振器的最大变形位移为0.3 mm（图6），在切削过程中能够保证吸振器与角铣头不发生干涉。同时应力云图表明，在重力作用下，吸振器的最大应力位于铝梁与质量单元的连接处，其值为32 MPa，取安全系数为3，则最大应力远低于许用应力，因此能够保障吸振器在工作中的结构可靠性。

为了对吸振器结构设计的有效性进行验证，开展了有限元模态仿真。结果表明，动力吸振器的一阶模态振型为垂直于两正交轴方向的平移，如图7所示。该振型具有沿Y、Z方向的两个平移自由度，可以有效抑制角铣头的弯曲振动模态。进一步地，通过改变铝梁的有效悬长，对动力吸振器的频率调谐能力进行仿真，结果如表5所示。当铝梁的等效悬长为180 mm时，动力吸振器的振动频率（37.2 Hz）接近最优频率（34.77 Hz）；将铝梁的等效悬长调谐至最大时（300 mm），动力吸振器的振动频率达到最小值（17.6 Hz）；当铝梁等效悬长减小至85 mm时，动力吸振器的固有频率增至最大值（107.9 Hz）。可见，该动力吸振器的调谐范围可以覆盖抑制角铣头目标模态的最优频率。

在完成吸振器加工与装配后，将吸振器通过卡箍安装于角铣头的主悬臂末端，如图8所示。机床–角铣头–刀具系统的颤振稳定性是由刀具在轴向和径向两个方向的动态特性共同决定的，但角铣头和吸振器因结构对称性使得沿Y、Z两正交方向上的动态特性接近，为避免结果重复展示，本研究仅对测点1、2处沿Y轴的原点频响函数进行测试。基于频响函数的测量结果，分别对动力吸振器的刚度、阻尼单元进行不断调谐，直至动力吸振器的参数达到最优。将吸振器调谐至最优动力学参数后，测得的角铣头频响函数如图9所示。结果表明，加装动力吸振器前后，测点1的频响函数峰值分别为4.81×10^–6 g/N和3.01×10^–6 g/N，幅值降幅为37.4%；对于测点2，加装动力吸振器前后的频响函数峰值分别为1.10×10^–5 g/N和2.92×10^–6 g/N，峰值降低了73.5%。可见，动力吸振器能够有效抑制角铣头的主振动模态。

通过开展切削试验对所设计吸振器的颤振抑制效果进行验证。所用工件为一铝合金材质矩形毛坯，如图10所示。首先，基于模态试验在测点2处测得3个正交方向的频响函数，采用零阶频域法对切削过程的颤振稳定性进行预测。拟定工况为槽铣，刀具材质为硬质合金，齿数为2，切削路径沿Y轴方向进给，每齿进给量f_z为0.11 mm。

根据上述结果，为便于观察动力吸振器的实际切削抑振效果，分别在600 r/min和1000 r/min的转速下开展试验，切削参数如表6所示。加装动力吸振器前后，所得工件的表面如图11所示。可见，当主轴转速为600 r/min时，动力吸振器对工件表面振纹的消除效果明显，有效抑制了颤振，并使得稳定切深提高了120%（由加装前的0.5 mm增至加装后的1.1 mm）。当主轴转速为1000 r/min时，稳定切深提高了300%（由加装前的0.4 mm增至加装后的1.6 mm）。

（1）给出了面向角铣头抑振的两自由度动力吸振器的详细设计过程。首先通过动力学建模与参数优化，得出吸振器的最优动力学参数；在此基础上采用图谱法对两自由度动力吸振器开展构型设计；最后通过刚度建模并结合参数优化结果，得到吸振器的最优尺寸参数。

（2）通过开展有限元仿真，对所设计的两自由度吸振器的静、动力学特性进行验证。静力分析结果表明，动力吸振器在重力作用下的最大变形位移为0.3 mm，且最大应力远低于许用应力，能够保障动力吸振器在工作中的结构可靠性。模态分析结果表明，动力吸振器的一阶模态振型可以有效抑制角铣头在两个正交方向的弯曲振动模态，且其固有频率的调谐范围可以覆盖抑制角铣头目标模态的最优频率（34.77 Hz）。

（3）模态试验结果表明，加装动力吸振器后，角铣头主振模态的频响函数幅值最大降幅为73.5%，达到了明显的抑振效果。切削试验结果表明，所设计的动力吸振器可使稳定切深提高300%（主轴转速为1000 r/min时，由加装前的0.4 mm增至加装后的1.6 mm）。