高超声速飞行器、空天往返飞行器和运载火箭等不断追求更高的机动性、航程和承载能力，对航空航天构件的轻量化和功能化设计提出了更高的要求。在传统减材制造工艺的限制下，传统的轻量化设计主要依赖在结构上设计减重孔或槽以实现减重。增材制造技术的出现和快速发展拓展了结构设计的自由度，推动了拓扑优化设计、仿生结构设计和微结构设计等先进轻量化设计技术的发展^{[ [1]  廖文和, 戴宁. 航空航天结构轻量化设计制造技术发展现状与挑战[J]. 南京航空航天大学学报, 2023, 55(3): 347–360.LIAO Wenhe, DAI Ning. Development and challenge of lightweight design and manufacturing technology for aerospace structures[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics, 2023, 55(3): 347–360.
1 ]}。点阵结构是一种由梁单元组成的三维空间桁架微结构，具有有序的排列方式和较强的参数化设计能力^{[ [2]  XIONG J, MINES R, GHOSH R, et al. Advanced micro-lattice materials[J]. Advanced Engineering Materials, 2015, 17(9): 1253–1264.
2 ]}。此外，点阵结构具有较高的比强度、比刚度^{[ [3]  张钱城, 卢天健, 闻婷. 轻质高强点阵金属材料的制备及其力学性能强化的研究进展[J]. 力学进展, 2010, 40(2): 157–169.ZHANG Qiancheng, LU Tianjian, WEN Ting. Processes in the study on enhanced mechanical properties of high-performance lightweight lattice metallic materials[J]. Advances in Mechanics, 2010, 40(2): 157–169.
3 ]}、散热^{[ [4]  张磊, 邱志平. 碳纤维增强点阵夹芯结构的散热承载协同优化[J]. 航空动力学报, 2012, 27(1): 89–96.ZHANG Lei, QIU Zhiping. Collaborative optimization of heat dissipation and load capacity for sandwich structures with carbon fiber reinforced lattice truss cores[J]. Journal of Aerospace Power, 2012, 27(1): 89–96.
4 ]}和减振吸能^{[ [5]  朱凌雪, 朱晓磊. 芯体截面梯度变化的点阵夹层结构吸能特性研究[J]. 振动与冲击, 2018, 37(14): 115–121.ZHU Lingxue, ZHU Xiaolei. Energy absorption characteristics of lattice truss structures with graded cross-section core member[J]. Journal of Vibration and Shock, 2018, 37(14): 115–121.
5 ]}等特点，具有实现结构功能一体化设计的巨大潜力。

对点阵结构的相对密度进行优化可有效改善结构的力学性能。赵芳垒等^{[ [6]  赵芳垒, 敬石开, 刘晨燕. 基于局部相对密度映射的变密度多孔结构设计方法[J]. 机械工程学报, 2018, 54(19): 121–128.ZHAO Fanglei, JING Shikai, LIU Chenyan. Variable density cellular structure design method base on local relative density mapping[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2018, 54(19): 121–128.
6 ]}基于拓扑优化和相对密度映射设计了变密度的点阵结构，提高了结构的力学承载性能。Li等^{[ [7]  LI D W, LIAO W H, DAI N, et al. Anisotropic design and optimization of conformal gradient lattice structures[J]. Computer-Aided Design, 2020, 119: 102787.
7 ]}提出了一种各向异性点阵结构的设计优化方法，优化后的点阵结构具有更强的刚度和抗屈曲性能。任利民等^{[ [8]  任利民, 戴宁, 程筱胜, 等. 点阵结构填充模型的边界强化设计方法[J]. 中国机械工程, 2021, 32(5): 594–599.REN Limin, DAI Ning, CHENG Xiaosheng, et al. Method of boundary strengthening design for lattice structure filling model[J]. China Mechanical Engineering, 2021, 32(5): 594–599.
8 ]}对边界处的点阵结构进行了增强，确保了载荷向内部结构的有效传递，提高了结构的协同承载能力。Daynes等^{[ [9]  DAYNES S, FEIH S, LU W F, et al. Optimisation of functionally graded lattice structures using isostatic lines[J]. Materials & Design, 2017, 127: 215–223.
9 ]}利用拓扑优化对点阵结构的相对密度进行优化，并结合结构主应力分布对点阵结构的拓扑构型进行优化，生成了承载能力更强的点阵结构。上述研究所针对的点阵结构以立方体单元为主，然而，实际应用中常出现点阵结构与复杂构件外形特征不匹配的问题。点阵结构在填充复杂构件时，需要利用裁剪法将设计区域外多余的结构进行去除^{[ [10]  WETTERGREEN M A, BUCKLEN B S, SUN W, et al. Computer-aided tissue engineering of a human vertebral body[J]. Annals of Biomedical Engineering, 2005, 33(10): 1333–1343.
10 ]}，但该方法会破坏边界点阵结构的完整性，影响结构承载性能。因此急需新的设计方法，在保证点阵结构完整性的前提下实现点阵与设计区域几何特征的匹配。

共形点阵等微结构在自然界中普遍存在，如鲨鱼盾鳞在表皮上的共形分布实现了有效减阻；蜂窝的共形六边形结构高效地利用了空间，并实现了载荷的均匀分布。微结构的共形可以保证结构的完整性，使结构的功能性得到更好的发挥。Zhou等^{[ [11]  ZHOU Y, GAO L, LI H. Graded infill design within free-form surfaces by conformal mapping[J]. International Journal of Mechanical Sciences, 2022, 224: 107307.
11 ]}使用共形映射技术将二维的超材料结构向三维自由曲面进行映射，结合拓扑优化对点阵结构的相对密度进行了优化，实现了共形点阵的变密度设计，提高了结构力学性能。Jiang等^{[ [12]  JIANG L, GU X D, CHEN S K. Generative design of bionic structures via concurrent multiscale topology optimization and conformal geometry method[J]. Journal of Mechanical Design, 2021, 143(1): 011701.
12 ]}将保角映射和多材料水平集拓扑优化相结合，设计了包含多种共形点阵结构的仿生结构，减少了点阵结构的局部畸变。上述方法可以对二维平面曲面壳体进行点阵结构的共形和梯度设计，却难以推广至三维。为了实现点阵结构在三维设计空间内的共形设计，Yoo等^{[ [13]  YOO D J. Computer-aided porous scaffold design for tissue engineering using triply periodic minimal surfaces[J]. International Journal of Precision Engineering and Manufacturing, 2011, 12(1): 61–71.
13 ]}利用形函数将三周期极小曲面结构的网格模型直接映射到体网格中，避免了布尔运算对结构的裁剪。Liu等^{[ [14]  LIU Y B, QU Z P, LI Y F. Design method of the conformal lattice structures[J]. Advanced Engineering Materials, 2022, 24(8): 2101423.
14 ]}利用类似的方法将规则设计域内的点阵结构映射至体网格中，实现了共形点阵的设计，仿真结果表明，相比于阵列填充的点阵结构，共形点阵结构的屈服强度和断裂强度分别提高了45.83%和15.03%。此外，扫掠法可使点阵单元变形以适应特定表面形状^{[ [15]  WANG H Q, CHEN Y, ROSEN D W. A hybrid geometric modeling method for large scale conformal cellular structures[C]//ASME 2005 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference. Long Beach: ASME, 2008: 421–427.
15 ]}。通过对表面上的点进行法向、切向信息的计算，更新点阵单元的几何数据信息，从而构建与表面曲率相匹配的共形点阵结构。Zhou等^{[ [16]  ZHOU Y, GAO L, LI H. Topology optimization design of graded infills for 3D curved volume by a conformal sweeping method[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2023, 412: 116009.
16 ]}提出了共形扫掠方法，可将变密度点阵结构填充至扫掠得到的设计区域内，但该方法计算复杂，且仅适用于扫掠法构造的参数化曲面。

为了实现复杂设计区域内点阵结构的共形设计和梯度优化，本文基于共形网格和点阵结构的拓扑构型提出了共形点阵的设计方法，并结合尺寸优化技术和隐式建模实现了共形梯度点阵结构的设计。

对共形点阵结构进行梯度设计可以有效调控结构内部的载荷分布，从而改善结构性能。首先构建以边界轮廓为约束的共形体网格；然后将点阵结构的拓扑构型映射至共形体网格，实现点阵结构的共形设计；随后，利用尺寸优化技术对点阵的杆径进行优化；最后，使用隐式建模方法实现共形梯度点阵结构的建模。设计流程如图1所示。

点阵结构可由六面体体网格的节点和梁单元的拓扑关系进行表示。为了拓展点阵拓扑构型，六面体的8个节点可以进行插值计算，从而生成新的拓扑节点。设P为空间体素中的任意一点，则该点在六面体节点向量组成的线性空间中可表示为

式中，V_i和k_i分别为体素8个节点的坐标和节点对应的线性参数。

具有均质杆径的点阵结构可表示为

式中，G为点阵结构的几何特征；B为生成点阵的函数；R为梁单元半径；T为点与梁单元的拓扑关系。

常见点阵结构的拓扑构型如图2所示。其中，V_i（i=1，…，8）为六面体设计区域的节点；BCC为体心立方胞元（Body center cubic）；FCC为面心立方胞元（Face center cubic）；Cubic为六面体胞元。

将点阵拓扑构型映射至共形网格，可实现共形点阵结构的迁移设计，该方法主要包括点阵拓扑映射和点阵去重两个步骤。可使用Abaqus或Hypermesh等软件生成共形网格。点阵拓扑映射是指共形网格与点阵拓扑构型之间建立映射关系，从而生成共形点阵结构的过程。图3为基于共形网格的点阵拓扑映射示意图。

映射得到的点阵结构存在重复的节点和梁单元，重复的单元不仅会造成计算资源的浪费，而且可能会影响建模和有限元的计算精度，因此需要对点阵进行去重。点阵去重包括节点去重和梁单元去重。节点去重可分为以下步骤：首先，创建新的节点集合；然后将原始点集的点依次导入，导入前判定新点集内是否存在与当前节点相同的点，若存在则不导入该节点；最后，为新点集内的点设置索引序号列表，用于更新与梁单元的拓扑关系。梁单元去重时，首先需要更新梁单元与节点的拓扑关系；更新后，重复的梁单元拥有相同的节点序号；采用与节点去重类似的方式即可实现梁单元的去重。图4为点阵结构去重的示意图。

上述方法可推广至三维，三维空间内共形点阵结构的设计流程为：首先，利用网格划分技术实现设计区域的离散处理，得到共形体网格；然后，指定体网格单元的点阵结构类型，并基于体网格的节点和点阵类型的拓扑构型生成梁单元，从而实现点阵结构的共形设计。设计流程如图5所示。

对点阵结构的杆径尺寸进行优化，可以进一步改善结构的力学性能。以应变能作为优化目标，以体积作为约束条件，则点阵结构尺寸优化的数学模型如下所示。

式中，R_i、u_i和k_i分别表示第i个梁单元的半径、位移向量和单元刚度矩阵；C为结构的应变能；F、K和U分别为载荷向量、总刚度矩阵和位移向量；V_c为设定的全局体积约束；L_i为第i个梁单元的长度；R_max和R_min分别为所设梁半径的上、下限。图6为点阵结构的尺寸优化过程，包括点阵结构尺寸优化的边界条件及优化后的变密度点阵结构，可以看出，点阵结构位于两个平板之间，两个平板均为刚体，施加的边界条件为下端刚体板固定、上端刚体板竖直向下加载。

点阵结构具有单元数量多且特征尺寸小的特点，传统基于Brep的建模方法在点阵结构建模方面不具有优势。隐式曲面建模具有较强的鲁棒性，适用于复杂微结构的建模，因此本文提出基于隐函数对点阵进行建模的方法。隐式距离场的构建是隐式建模的前提。点阵结构由梁单元组成，通过对梁单元的隐式距离场进行布尔运算即可实现点阵结构的隐式距离场构建。梁单元的隐式表达式如下。

式中，P、P_s和P_e分别表示空间内的任意点、梁单元起点和终点；t为任意点相对于梁单元的位置；ϕ_beam（P）为点阵结构内任意点P的隐函数值；dis（P）表示点P距离梁单元的最小距离；R_s和R_e分别为P_s和P_e的半径。图7（a）为梁单元的隐式距离场示意图。

隐式建模可以通过隐函数的数学运算来实现空间复杂形状的几何操作，包括布尔运算和曲面偏移等。基于梁单元的隐式表达，使用如下所示的隐式融合运算公式即可获得点阵结构的隐式曲面表达。

式中，${\varphi }_{{\text{ beam}}_i}(P)$（P）为第i个梁单元的隐式曲面表达；n为梁单元的数量。图7（b）为梁单元隐式布尔运算得到的结果，在隐式距离场的基础上使用移动立方体算法可获得结构的网格模型。

由于尺寸优化的结果为梁单元杆径的分布，若相邻的梁单元具有不同的杆径，则有可能存在如图8（a）所示的实体模型突变，将影响连接结构的性能。通过尺寸优化计算得到杆径后，利用均值法计算相交节点的杆径，如下所示。

式中，R_p表示节点p的杆径；{r₁，…，r_m}表示与节点p相连接的梁单元杆径集合；m为该集合内梁单元的数量。遍历点阵结构的每个节点并利用式（6）更新节点的半径，即可生成平滑的变密度点阵模型（图8（b））。

为验证所提出方法的有效性，以飞行器整流罩和蒙皮结构为例，在保证相同体积的前提下设计不同种类的点阵结构，并通过仿真验证共形梯度点阵结构的优势。结构材料选为铝合金，杨氏模量为71000 MPa，泊松比为0.3。基于QT、VS和VTK平台，自主开发了如图9所示的Element Design ToolsV1.0软件原型系统，以实现共形点阵结构的轻量化设计与优化。

整流罩是运载火箭和导弹等飞行器的重要组成部分，可以在减少飞行阻力的同时保护飞行器内的仪器。图10所示的简化整流罩蒙皮厚度为2 mm，剖面区域为设计区域，厚度为10 mm。

整流罩的共形点阵设计优化结果如图11所示，整流罩结构底部的4个局部连接面设为固定约束，在顶端局部区域施加10000 N的模拟载荷。阵列点阵结构的正方体单胞边长为10 mm，梁单元的杆径设为2 mm，使用BCC点阵对整流罩进行轻量化设计，阵列生成的点阵结构胞元数量为1490，每个单胞均受到不同程度的裁剪。共形点阵结构梁单元的直径设为2 mm，单胞数量为783，该点阵结构中没有点阵单胞受到破坏。尺寸优化中，梁单元的最小杆径和最大杆径分别设为1 mm和3 mm。整流罩结构优化前后的数据如表1所示。结果表明，相比于阵列点阵结构，共形点阵结构的刚度提高了16.5%，共形梯度点阵结构的刚度提高了43.2%。表明在相同载荷条件下，对点阵结构进行共形梯度设计可提高结构的抗变形能力。

蒙皮是飞行器结构的外层结构，通常通过粘结剂或铆钉固定在骨架上，形成飞机外形的结构组件。蒙皮结构主要起到承受和传递气动载荷的作用，在受到空气动力作用后，将力传递到相连的机身和机翼骨架上，因此需要具备较高的强度和刚度。对图12所示的蒙皮结构进行优化，该蒙皮结构厚度为10 mm，其中8 mm作为点阵的设计区域。

蒙皮的共形点阵设计优化结果如图13所示，蒙皮平面上受到10000 N的模拟均布力，结构的两侧设为固定约束，使用Cubic点阵对蒙皮进行轻量化设计。阵列点阵结构的正方体单胞边长为8 mm，阵列点阵结构和共形点阵结构梁单元的杆径设为2 mm。尺寸优化中，梁单元的最小杆径和最大杆径分别设为1 mm和3 mm。蒙皮的仿真优化数据如表2所示。结果表明，隐式建模生成的阵列点阵、共形点阵和共形梯度点阵的体积分别为109.4 cm³、117.0 cm³和107.4 cm³，3种点阵结构在载荷作用下的最大位移分别为0.769 mm、0.541 mm和0.337 mm。相比于阵列点阵，共形点阵将结构的刚度提升了42.1%；对共形点阵结构进行梯度设计后，结构刚度可以提高60.5%。说明在具有相似质量的前提下，对点阵结构进行共形梯度设计可以有效提高整体结构的刚度。

（1）本文将点阵结构的拓扑构型映射至共形网格中，实现了共形点阵结构的设计。结合尺寸优化技术对点阵进行优化，获得了刚度更优的共形梯度点阵结构，为点阵结构的轻量化设计提供了新思路。

（2）建立了点阵结构的隐式表达，利用隐式建模的方法实现了梯度点阵结构网格模型的生成。隐式建模技术具有较强的鲁棒性，可实现结构之间的实体布尔操作，是实现大规模点阵等复杂结构建模的有效手段。

（3）整流罩和蒙皮结构优化设计案例进一步表明，对点阵结构进行共形梯度设计可有效提高结构的刚度。