面向薄壁件变形控制的高速铣削残余应力分析与工艺优化*

基金项目：

辽宁省教育厅高校基本科研项目面上项目（JYTMS20230257）；沈阳市自然科学基金（24–102–6–01）。

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责编　：向阳

引文格式：

郭建烨, 毛怡颖, 高诗诗, 等. 面向薄壁件变形控制的高速铣削残余应力分析与工艺优化[J]. 航空制造技术, 2025, 68(6): 86–95.

Residual Stress Analysis and Process Optimization of High-Speed Milling for Deformation Control of Thin-Walled Parts

Citations

GUO Jianye, MAO Yiying, GAO Shishi, et al. Residual stress analysis and process optimization of high-speed milling for deformation control of thin-walled parts[J]. Aeronautical Manufacturing Technology, 2025, 68(6): 86–95.

航空制造技术第68卷第6期 86-95

Aeronautical Manufacturing Techinology Vol.68 No.6 : 86-95

DOI: 10.16080/j.issn1671-833x.2025.06.086

论坛 >> 薄壁件控形控性制造（FORUM >> Shape- and Property-Control Manufacture of Thin-Walled Part）

面向薄壁件变形控制的高速铣削残余应力分析与工艺优化*

郭建烨
毛怡颖
高诗诗
侯宁

沈阳航空航天大学，沈阳 110136

基金项目：

辽宁省教育厅高校基本科研项目面上项目（JYTMS20230257）；沈阳市自然科学基金（24–102–6–01）。

引文格式：

郭建烨, 毛怡颖, 高诗诗, 等. 面向薄壁件变形控制的高速铣削残余应力分析与工艺优化[J]. 航空制造技术, 2025, 68(6): 86–95.

摘要

切削加工过程产生的残余应力是引起薄壁件变形的主要因素之一，切削参数的选择对残余应力有直接影响，通过分析残余应力的变化规律并合理选择切削参数，进而减小工件切削后的表面残余应力，最终能实现控制薄壁件变形程度和保证加工精度的目的。首先基于McDowell模型建立了三维残余应力的理论模型，并通过铣削仿真过程分析了高速切削条件下，主轴转速、每齿进给量、轴向切深对残余应力的影响规律，结果表明，每齿进给量对残余应力的影响程度最大；然后根据理论模型和仿真分析的结果，以减小残余应力和同时增大材料去除率为优化目标，采用Pareto模拟退火算法对切削参数进行了双目标优化，并获取了一组最优解集；最后通过铣削试验对优化结果进行了验证，结果表明，优化算法求解的残余应力值与试验测量的残余应力值之间的误差率在合理范围内，证明了优化结果的可靠性和优化算法的可行性。

关键词

高速切削;钛合金;切削参数;残余应力;工艺优化;

Residual Stress Analysis and Process Optimization of High-Speed Milling for Deformation Control of Thin-Walled Parts

GUO Jianye
MAO Yiying
GAO Shishi
HOU Ning

Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China

Citations

Abstract

Residual stress generated during the cutting process is one of the main factors causing deformation of thin-walled parts. The selection of cutting parameters has a direct impact on residual stress. By analyzing the variation law of residual stress and selecting cutting parameters reasonably, surface residual stress of the workpiece after cutting can be reduced, ultimately achieving the goal of controlling the degree of deformation of thin-walled parts and ensuring machining accuracy. Researches have been conducted on certain aspects, including change laws and influences of cutting force, cutting temperature and residual stress on the forming qualities of thin-walled parts. Based on previous studies, this paper proposed an improved algorithm to analyze the residual stress and optimize the process during formation of the thin-walled parts. Firstly based on McDowell model, this study established a theoretical model for three-dimensional residual stress, and analyzed the influence of spindle speed, feed rate per tooth and axial cutting depth on residual stress under high-speed cutting conditions through milling simulation; the results showed that the feed rate per tooth had the greatest impact on residual stress. Then based on the theoretical model and simulation analysis results, with the optimization objective of reducing residual stress and simultaneously increasing material removal rate, the Pareto simulated annealing algorithm was used for dual objective optimization of cutting parameters, and a set of optimal solutions was obtained. Finally, the optimization results were verified through milling experiments, and results showed that the error rate between residual stress values solved by the optimization algorithm and those measured by the experiment was within a reasonable range, indicating reliability of the optimization results and feasibility of the optimization algorithm.

Keywords

High-speed cutting; Titanium alloy; Cutting parameters; Residual stress; Process optimization;

钛合金切削性能差、导热系数低、易加工硬化^{[
[1] NORIHIKO N. High-speed machining of titanium alloy[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering (English Edition), 2002, 15: 109.
1 ]}等特点导致该材料工件在加工过程中极易产生变形。特别是对于薄壁件而言，其结构刚度较低，在切削力等因素的影响下易发生变形^{[
[2] 安乐. 基于加工变形的薄壁零件侧铣铣削力理论建模[D]. 大连: 大连理工大学, 2013.AN Le. Establishment of the peripheral milling force theory model based on the deformation during machining process[D]. Dalian: Dalian University of Technology, 2013.
2 ]}；同时经过刀具切削加工后，工件内部的应力平衡被破坏，导致残余应力在薄壁件中被重新分布，并引起部分弹性恢复，进一步加剧工件的变形程度^{[
[3] TANG J Q, DENG C Y, CHEN X H, et al. Analysis and optimization of milling deformations of TC4 alloy thin-walled parts based on finite element simulations[J]. Machines, 2023, 11(6): 628.
3 ]}。其中，切削过程直接导致的工件变形可以通过改变切削力大小和改进工艺方案等措施得到有效控制，但残余应力所引起的工件变形效果更长久，影响过程更复杂。切削参数对残余应力的产生有直接作用，通过优化切削参数来减小残余应力，进而实现有效控制薄壁件变形的研究具有一定的实际意义。

近年来，针对钛合金高速切削性能的研究已成为国内外学者广泛关注的热点，研究内容涵盖了切削力、切削温度和工件表面残余应力等关键指标的变化规律及对加工质量的影响机理。Wang等^{[
[4] WANG B, LIU Z Q, CAI Y K, et al. Advancements in material removal mechanism and surface integrity of high speed metal cutting: A review[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2021, 166: 103744.
4 ]}总结了高速切削过程中残余应力的变化规律，研究结果表明，在切削速度较小时，工件表面存在残余压应力；随着切削速度的提高，残余压应力逐渐转变为残余拉应力并先增大后减小，进而推测出当切削速度提升至某一较高值时，残余拉应力可以保持较小值或者再次转变为残余压应力。Cheng等^{[
[5] CHENG M H, JIAO L, YAN P, et al. Prediction of surface residual stress in end milling with Gaussian process regression[J]. Measurement, 2021, 178: 109333.
5 ]}基于高斯过程回归建立了一种表面残余应力预测模型，发现相对于切削速度和切削深度而言，进给量对表面残余应力的影响较大。Rao等^{[
[6] RAO B, DANDEKAR C R, SHIN Y C. An experimental and numerical study on the face milling of Ti–6Al–4V alloy: Tool performance and surface integrity[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2011, 211(2): 294–304.
6 ]}认为进给量对残余应力的产生起到重要作用，并在试验中发现，切削速度对残余应力没有显著影响。Wang等^{[
[7] WANG J T, ZHANG D H, WU B H, et al. Prediction of distortion induced by machining residual stresses in thin-walled components[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2018, 95(9): 4153–4162.
7 ]}通过充分的切削试验，建立了不同切削条件下残余应力的经验模型和预测薄壁件最终变形的修正有限元模型。Denkena等^{[
[8] DENKENA B, NESPOR D, BÖß V, et al. Residual stresses formation after re-contouring of welded Ti–6Al–4V parts by means of 5-axis ball nose end milling[J]. CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology, 2014, 7(4): 347–360.
8 ]}发现平均切削速度和切削深度对残余应力影响不显著。周俊等^{[
[9] 周俊, 舒林森. 高速铣削参数对镍基激光熔覆合金表面粗糙度和残余应力的影响[J]. 工具技术, 2022, 56(8): 45–48.ZHOU Jun, SHU Linsen. Effect of high speed milling parameters on surface roughness and residual stress of nickel base laser cladding alloy[J]. Tool Engineering, 2022, 56(8): 45–48.
9 ]}利用单因素试验法，以表面粗糙度和残余应力为评价指标，研究分析了高速铣削时铣削深度、进给量和主轴转速对镍基熔覆合金表面粗糙度和残余应力的影响规律，结果表明，材料的表面粗糙度随着切削深度和进给量的增大而增大，随着主轴转速的增大而减小，表面残余应力对铣削深度和进给量较为敏感，而对主轴转速的敏感性较低。楚满福等^{[
[10] 楚满福, 高军, 郑光明, 等. 高速铣削铁基高温合金表面加工硬化及残余应力研究[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2019(8): 8–11.CHU Manfu, GAO Jun, ZHENG Guangming, et al. Surface work-hardening and residual stress in high-speed milling of iron-based superalloy[J]. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique, 2019(8): 8–11.
10 ]}采用两种硬质合金涂层刀具进行高速干铣削试验，发现残余应力在进给方向和切削方向上主要表现为拉应力，切削速度、每齿进给量、切削深度对残余应力的影响均较大。Shan等^{[
[11] SHAN C W, ZHANG M H, ZHANG S N, et al. Prediction of machining-induced residual stress in orthogonal cutting of Ti6Al4V[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2020, 107(5): 2375–2385.
11 ]}提出了一种正交切削加工残余应力的预测模型，考虑了机械应力和热应力，研究结果表明，残余应力随切削力和切削温度的增加而增大。Zawada-Michałowska等^{[
[12] ZAWADA-MICHAŁOWSKA M, PIEŚKO P, MRÓWKA-NOWOTNIK G, et al. Effect of the technological parameters of milling on residual stress in the surface layer of thin-walled plates[J]. Materials, 2024, 17(5): 1193.
12 ]}研究了铣削工艺参数对铝合金薄壁板表面层残余应力的影响，发现残余应力仅随切削速度的增加而增大到某个极值点，切削速度在750~900 m/min时，残余应力显著降低，这可能是由于铣削过程已进入高速切削范围，并且该推论与切削力表现出来的特征相符合。Zheng等^{[
[13] ZHENG Y Y, TIAN Y Z, MA J J, et al. Residual stress formation mechanism considering cutting energy in milling of 7075 aluminum alloy[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2024, 131(5): 3039–3055.
13 ]}提出了一种考虑铣削过程中能量转换的机械加工诱导残余应力分析模型，将残余应力值引入应变能模型中，并分析了有效切削功与单位时间内应变储能之间的功能转换关系。Lu等^{[
[14] LU X H, XV G, CONG C, et al. Residual stress prediction of micro-milling Inconel 718 thin-walled parts[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2024, 133(3): 1305–1316.
14 ]}使用ABAQUS软件进行了有限元微铣削薄壁零件的仿真，基于仿真结果建立了加工表面残余应力预测模型，通过试验发现，残余应力的预测值与实测值在各方向上的平均相对误差均小于20%，验证了该模型的有效性和可靠性。

目前针对残余应力的研究主要集中在模型建立和仿真分析方面，大多数研究人员比较关注切削过程和切削参数对残余应力的影响情况。而以薄壁件变形控制为出发点，通过具体算法优化切削参数来减小工件表面残余应力，进而实现薄壁件变形有效控制的相关研究结果还较少。特别是针对钛合金而言，其切削加工条件相对较差，通过减小残余应力来控制薄壁件的变形程度更具研究价值。本文以钛合金高速铣削过程为研究对象，基于建立的残余应力理论模型和仿真分析结果，使用Pareto模拟退火算法对切削参数进行了双目标优化，并通过切削试验对优化后的切削参数进行了验证。

1　残余应力的理论模型

残余应力对加工工件的加工质量和疲劳寿命具有重要影响。在切削过程中，引发工件内部不均匀塑性变形和弹性变形的主要因素是切削力和切削热，二者通常同时存在并相互影响，因此残余应力的计算是一个复杂、受多因素影响的热弹塑性问题^{[
[15] WAN M, YE X Y, WEN D Y, et al. Modeling of machining-induced residual stresses[J]. Journal of Materials Science, 2019, 54(1): 1–35.
[16] 王明杰. 航空铝合金零件铣削三维残余应力模型研究[D]. 焦作: 河南理工大学, 2014.WANG Mingjie. The research of three dimensional model of residual stress of aviation aluminum alloy parts on milling[D]. Jiaozuo: Henan Polytechnic University, 2014.
15-16 ]}。在实际研究中，分析残余应力的产生机理对于其控制有着非常重要的理论意义^{[
[17] 宋俊凯, 黄小波, 高玉魁. 残余应力测试分析技术[J]. 表面技术, 2016, 45(4): 75–82.SONG Junkai, HUANG Xiaobo, GAO Yukui. Test and analysis technology of residual stress[J]. Surface Technology, 2016, 45(4): 75–82.
17 ]}。本文基于接触力学和几何特征变换确定铣削过程引起的机械内应力，并结合切削热导致的热应力，建立了铣削过程中工件产生的残余应力理论模型^{[
[18] JOHNSON K L. 接触力学[M]. 徐秉业, 译. 北京: 高等教育出版社, 1992.JOHNSON K L. Contact mechanics[M]. XU Bingye, trans. Beijing: Higher Education Press, 1992.
18 ]}。

McDowell模型假设Y方向的应变变化率为0，在X方向引入屈服函数，建立二维残余应力模型，即

\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{x x} = \frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{x x} - υ ({\dot{σ}}_{y y} + {\dot{σ}}_{z z}^{e l})] + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z}^{e l} n_{z z} + 2 {\dot{τ}}_{x z}^{e l} n_{x z}) n_{x x} = \\ Ψ {\frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{x x}^{e l} - υ ({\dot{σ}}_{y y} + {\dot{σ}}_{z z}^{e l})] + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x}^{e l} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z}^{e l} n_{z z} + 2 {\dot{τ}}_{x z}^{e l} n_{x z}) n_{x x}} \end{array}

（1）

\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{y y} = \frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{y y} - υ ({\dot{σ}}_{y y} + {\dot{σ}}_{z z}^{e l})] + \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x} n_{x x} + \\ {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z}^{e l} n_{z z} + 2 {\dot{τ}}_{x z}^{e l} n_{x z}) n_{y y} = 0 \end{array}

（2）

式中， ${\dot{ε}}_{x x}$ 、 ${\dot{ε}}_{y y}$ 分别为X、Y方向上的应变率；E为材料弹性模量； ${\dot{σ}}_{x x}$ 、 ${\dot{σ}}_{y y}$ 分别为X、Y方向上的残余应力变化率； ${\dot{σ}}_{x x}^{e l}$ 、 ${\dot{σ}}_{z z}^{e l}$ 、 ${\dot{τ}}_{x z}^{e l}$ 为弹性赫兹应力变化率；h为材料塑性模量； $υ$ 为材料泊松比；Ψ为混合系数，Ψ=1–exp[–k（3h/2G）]，其中G为弹性剪切模量，G=E/[2（1+ $υ$ ）]，k为常数，根据文献[ [19] 杨博文, 薛勇, 张治民, 等. 热等静压态TC4钛合金高温变形行为研究[J]. 热加工工艺, 2018, 47(23): 38–43.YANG Bowen, XUE Yong, ZHANG Zhimin, et al. Study on high temperature deformation behavior of HIP TC4 titanium alloy[J]. Hot Working Technology, 2018, 47(23): 38–43.
19 ]确定，当（3h/2G）<5时，选择k=0.2；n_ij为塑性应变率方向上的单位法向量。

McDowell模型只适用于计算二维平面上的残余应力，但实际上残余应力在工件中的分布是三维立体的，所以需要将平面上的残余应力模型扩展到立体空间中。设定刀具轴线方向为Z方向，刀具进给方向为X方向，则切削力在Y方向产生的应变量很小，可以视为0，而在Z方向和X方向上，将产生较大的应变量，不能忽视。因此，假设Y方向的应变变化率为0，X、Z方向的应变变化率则不为0，在X方向和Z方向分别引入屈服函数。同时，在考虑内部应力的前提下，将温度因素加入到函数中，从而基于McDowell模型构建一个三维的残余应力理论模型，即

\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{x x} = \frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{x x} - υ ({\dot{σ}}_{y y} + {\dot{σ}}_{z z})] + α Δ T + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z} n_{z z} + {\dot{τ}}_{x z} n_{x z} + {\dot{τ}}_{z x} n_{z x}) n_{x x} = \\ Ψ {\frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{x x}^{e l} - υ ({\dot{σ}}_{y y} + {\dot{σ}}_{z z})] + α Δ T + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x}^{e l} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z} n_{z z} + {\dot{τ}}_{x z} n_{x z} + {\dot{τ}}_{zx} n_{z x}) n_{x x}} \end{array}

（3）

\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{y y} = \frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{y y} - υ ({\dot{σ}}_{y y} + {\dot{σ}}_{z z})] + α Δ T + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z} n_{z z} + {\dot{τ}}_{x z} n_{x z} + \\ {\dot{τ}}_{z x} n_{z x}) n_{y y} = 0 \end{array}

（4）

\begin{array}{l} {\dot{ε}}_{z z} = \frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{z z} - υ ({\dot{σ}}_{x x} + {\dot{σ}}_{y y})] + α Δ T + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z} n_{z z} + {\dot{τ}}_{x z} n_{x z} + {\dot{τ}}_{z x} n_{z x}) n_{z z} = \\ Ψ {\frac{1}{E} [{\dot{σ}}_{z z}^{e l} - υ ({\dot{σ}}_{x x} + {\dot{σ}}_{y y})] + α Δ T + \\ \frac{1}{h} ({\dot{σ}}_{x x}^{e l} n_{x x} + {\dot{σ}}_{y y} n_{y y} + {\dot{σ}}_{z z} n_{z z} + {\dot{τ}}_{x z} n_{x z} + {\dot{τ}}_{z x} n_{z x}) n_{z z}} \end{array}

（5）

式中，α为温度变化系数；ΔT为温度变化值。

根据上述建立的三维残余应力模型，可以通过积分运算求出高速切削过程中工件上任意一点在X、Y、Z 3个方向上的残余应力，向量求和后可得总残余应力为

σ_{总} = \sqrt{σ_{x x}^{2} + σ_{y y}^{2} + σ_{z z}^{2}}

（6）

2　残余应力的仿真分析

利用ABAQUS软件进行钛合金高速铣削的有限元仿真，流程如图1所示。

图1　铣削的有限元仿真流程

Fig.1　 Finite element simulation process of milling

2.1　仿真分析过程

为了进行金属切削的有限元分析，必须在仿真模型中充分考虑材料属性、摩擦和磨损、刀具的几何参数及热传导等多个因素对加工过程的影响。由于实际切削过程的高度复杂性，通常所建立的热力耦合有限元切削仿真模型符合以下条件^{[
[20] 王关. 钛合金薄壁件有限元仿真分析及铣削参数优化研究[D]. 西安: 西安科技大学, 2022.WANG Guan. Finte element simulation analysis of titanium alloy thin-walled parts and optimization of milling parameters[D]. Xi’an: Xi’an University of Science and Technology, 2022.
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20-21 ]}：假定刀具为刚体；当温度上升时，不考虑材料的金相结构变化；所用的材料为各向同性。

图2为铣削仿真的三维模型，其中刀具直径为ϕ16 mm，刀刃数量为4，螺旋角为30°，切削工件尺寸为20 mm×16 mm×2 mm。

图2　铣削仿真的三维模型

Fig.2　 Three dimensional model of milling simulation

2.1.1　设置材料属性

刀具材料为YG6X硬质合金，属性如表1所示。铣削过程所用的TC4钛合金材料牌号为Ti6Al4V，具体材料属性如表2所示。

表1　 YG6X刀具材料属性

Table 1　 Material properties of YG6X tool

成分	硬度HRC	抗弯强度/MPa	热导率/（W/（m·K））	线性膨胀系数/（×10^–6/℃）	密度/（g/cm³）
WC+6%Co	91	1400	79.6	4.4	14.6~14.9

表2　 Ti6Al4V材料属性

Table 2　 Ti6Al4V material properties

杨氏模量/GPa	抗拉强度/MPa	泊松比	屈服强度/MPa	热导率/（W/（m·℃））	比热容/（J/（kg·℃））	硬度HRC
108	920	0.33	860	6.8	611	37

2.1.2　选定本构模型

在切削加工过程中，工件会出现温度过高、应变大和弹塑性形变等问题，而切屑的形成时间相对较短，因此切削层各部分的应变、应变率和温度分布并不均匀，且梯度范围相对较大。因此，建立能够描述应变、应变率和温度对工件流动应力影响的本构方程，在仿真研究领域具有极高的重要性^{[
[22] 舒平生. 基于Abaqus的A357铝合金正交切削加工有限元仿真及其实验研究[J]. 组合机床与自动化加工技术, 2015(8): 43–46, 50.SHU Pingsheng. Finite element simulation of A357 orthogonal cutting based on Abaqus and the corresponding experiment[J]. Modular Machine Tool & Automatic Manufacturing Technique, 2015(8): 43–46, 50.
22 ]}。在进行热力耦合分析时，J–C本构模型被广泛应用，特别是在多种金属材料产生高应变的情况下，对应计算式如下^{[
[23] 刘胜. 钛合金正交切削的温度场和切削力仿真与试验研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2007.LIU Sheng. Simulation and experimental study of temperature field and cutting force in orthogonal cutting of titanium alloy[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2007.
23 ]}。其中，等式右边的第1部分表示材料的应变强化；第2部分表示应变率强化；第3部分表示热软化强化。

\begin{array}{l} \bar{σ} = [A + B {({\bar{ε}}^{p l})}^{n}] \\ [1 + C \ln (\frac{{\dot{\bar{ε}}}^{p l}}{{\dot{ε}}_{0}})] (1 - {\hat{θ}}^{m}) \end{array}

（7）

式中， $\bar{σ}$ 为屈服应力；A为屈服应力强度；B为材料应变硬化系数； ${\bar{ε}}^{p l}$ 为等效塑性应变；n为硬化指数；C为材料应变率强化指数； ${\dot{\bar{ε}}}^{p l}$ 为等效塑性应变率； ${\dot{ε}}_{0}$ 为材料的参考应变率；m为材料热软化指数； $\hat{θ}$ 为与温度有关的无量纲数值，定义为

\hat{θ} = {\begin{array}{l} 0 & θ < θ_{trans} \\ (θ - θ_{trans}) / (θ_{melt} - θ_{trans}) & θ_{trans} \leq θ \leq θ_{melt} \\ 1 & θ > θ_{melt} \end{array}

（8）

式中，θ为当前温度；θ_melt为材料的熔化温度；θ_trans为转变温度。当θ<θ_trans时，静态屈服应力表达式与温度无关；当θ>θ_melt时，材料已被熔化，此时应力应变值均为0。

A、B、C、n、m一般由试验数据拟合得到，本文进行切削仿真采用的材料指数参考了文献[ [24] 李军. 基于SHPB试验及仿真的钛合金切削数值模拟研究[D]. 天津: 天津大学, 2014.LI Jun. Research of numerical simulation of titanium alloy in cutting process based on SHPB experiment and simulation[D]. Tianjin: Tianjin University, 2014.
24 ]，具体见表3。

表3　 J–C本构模型的指数

Table 3　 Coefficients of J–C constitutive model

A/MPa	B/MPa	C	n	m
831.355	857.932	0.015	0.302	0.724

基于塑性变形过程中的等效塑性应变，J–C损伤模型与J–C本构模型相契合，能有效模拟切削仿真中的单元网格删除。因此，本文选取J–C损伤模型作为切屑分离准则，表达式为^{[
[23] 刘胜. 钛合金正交切削的温度场和切削力仿真与试验研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2007.LIU Sheng. Simulation and experimental study of temperature field and cutting force in orthogonal cutting of titanium alloy[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2007.
23 ]}

\begin{array}{l} {\bar{ε}}_{f}^{p l} = [d_{1} + d_{2} \exp (d_{3} \frac{σ_{n}}{σ_{Mise}})] \\ [1 + d_{4} \ln (\frac{{\dot{\bar{ε}}}^{p l}}{{\dot{ε}}_{0}})] (1 + d_{5} \hat{θ}) \end{array}

（9）

式中， ${\bar{ε}}_{f}^{p l}$ 为临界等效塑性应变；σ_n为压应力；σ_Mise为Mise应力；d₁~d₅为材料的失效参数^{[
[23] 刘胜. 钛合金正交切削的温度场和切削力仿真与试验研究[D]. 南京: 南京航空航天大学, 2007.LIU Sheng. Simulation and experimental study of temperature field and cutting force in orthogonal cutting of titanium alloy[D]. Nanjing: Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, 2007.
23 ]}，其值如表4所示。

表4　 J–C损伤模型的参数

Table 4　 Parameters of J–C damage model

d₁	d₂	d₃	d₄	d₅
–0.09	0.25	–0.5	0.014	3.87

2.1.3　划分单元网格

在钛合金的铣削加工仿真中，考虑到工件材料的大变形特性和非线性行为，因此采用六面体单元，该单元具有出色的变形特性和计算精度，能够有效处理复杂的物理现象。通过将工件划分为八结点热耦合六面体单元C3D8T，可以充分捕捉铣削过程中的热–力耦合效应，提高分析模型的精度。同时，刀具在铣削过程中通常被视为刚性体，变形相对较小，因此将刀具设置为刚体并划分为四结点热耦合四面体单元C4D4T，可以在保证计算精度的同时，减少计算量，提高计算效率，网格划分结果如图3所示。

图3　工件和刀具的网格划分结果

Fig.3　 Meshing results of workpiece and cutting tool

2.1.4　选取切削参数

在刀具尺寸一定时，切削速度可以通过主轴转速来表示，进给量也可以用每齿进给量来表示，这样更方便设定切削参数。将主轴转速n、每齿进给量f_z和轴向切深a_p作为切削参数，依据表5中数值进行实际切削过程的仿真，这些参数的选择符合钛合金高速铣削精加工的常用范围。

表5　铣削仿真切削参数

Table 5　 Cutting parameters of milling simulation

主轴转速n/（r/min）	每齿进给量f_z/（mm/z）	轴向切深a_p/mm
3500，4000，4500，5000	0.02，0.04，0.06，0.08	0.1，0.2，0.3，0.4

2.1.5　设定边界条件

在切削过程中，将工件底部完全固定。按照笛卡尔坐标系，设定X轴为刀具的进给方向，Z轴为刀具的回转中心轴线，给刀具施加沿X轴的进给速度和绕Z轴的旋转速度，最后将工件与刀具的温度预定义为25 ℃。

2.1.6　后处理

设定条件后创建作业并提交，通过有限元软件ABAQUS进行计算，得到仿真结果。然后进入Result模块，观察云图显示的工件表面残余应力分布情况，并提取特定点的残余应力数据，对仿真结果进行分析。

2.2　仿真分析结果

图4为高速铣削条件下，钛合金工件表面残余应力的分布云图，可以看出，残余应力主要分布在工件中间部位。残余应力是导致工件发生塑性变形和开裂等缺陷的主要原因之一，其分布状态的变化将引起材料性能和加工表面质量的变化。

图4　高速铣削时钛合金工件表面残余应力云图

Fig.4　 Cloud map of residual stress on Ti alloy workpiece surface during high-speed milling

主轴转速n、每齿进给量f_z和轴向切深a_p对材料表面残余应力σ的影响如图5所示。将理论模型计算结果与仿真分析结果进行对比，发现二者的结果较一致，切削参数对残余应力影响的规律基本相符，说明理论模型能够在一定程度上预测材料表面的残余应力，在后续的优化过程中，可以在一定范围内将理论模型计算结果作为计算残余应力数值的理论依据。

图5　切削参数对残余应力的影响

Fig.5　 Influence of cutting parameters on residual stress

如图5（a）所示，随着主轴转速n的提高，材料表面的仿真和理论残余应力均增大。随着切削速度的提升，材料发生塑性变形的速率加快，同时刀尖与工件表面的摩擦导致热量增加，大量热能从工件表层传向内层。因此，工件内部吸收大量的切削热，产生热塑性变形，残余应力在切削力和切削温度的共同作用下增大。如图5（b）所示，随着每齿进给量f_z的增大，材料表面的残余应力显著增大。这是因为增大f_z可以增加刀具对工件的单位去除体积，对工件产生的挤压作用和热影响作用增强，导致残余应力变大。每齿进给量f_z的小幅度增大会导致残余应力的大幅度提升，因此每齿进给量f_z对残余应力的影响程度最大。如图5（c）所示，当轴向切深a_p增大时，材料表面残余应力也增大。这是因为随着轴向切深的增大，切削过程中刀具对工件材料的去除量增加，导致切削力和切削热均相应增大，塑性变形增加，残余应力增大。

3　切削参数优化

目前控制薄壁件加工变形的方法主要有优化切削参数、改变装夹方式、变形预测与误差补偿，以及特种加工等^{[
[25] 李许庆, 石艳, 胥云, 等. 航发叶片铣削弹性变形量预测与工艺参数优化[J]. 制造技术与机床, 2021(3): 98–102.LI Xuqing, SHI Yan, XU Yun, et al. Prediction of elastic deformation and optimization of process parameters in aeroengine blade milling[J]. Manufacturing Technology & Machine Tool, 2021(3): 98–102.
25 ]}。前文对残余应力的理论分析和仿真研究表明，切削参数对残余应力具有显著影响，因此对切削参数进行双目标优化，并进行铣削试验验证。

3.1　 Pareto模拟退火算法

模拟退火算法由固体退火降温过程演化而来^{[
[26] 康立山. 非数值并行算法（第1册）——模拟退火算法[M]. 北京: 科学出版社, 1994.KANG Lishan. Non-numerical parallel algorithm (Volume 1)—Simulated annealing algorithm[M]. Beijing: Science Press, 1994.
26 ]}。在模拟退火过程中，Metropolis准则常被用来指导是否接受新生成的解作为当前最优解，该准则可表示为^{[
[27] 张双德. 基于改进型模拟退火算法的数控加工切削参数优化[J]. 煤矿机械, 2004, 25(6): 76–78.ZHANG Shuangde. Application of improved simulated annealing algorithm in NC machining parameter optimization[J]. Coal Mine Machinery, 2004, 25(6): 76–78.
27 ]}

p = {\begin{array}{l} 1 & E_{j} < E_{i} \\ \exp (\frac{E_{i} - E_{j}}{k T}) & E_{j} > E_{i} \end{array}

（10）

式中，p为接受新解的概率；k为退火系数；T为初始温度。

该准则的执行过程可以描述为：当旧解i的能量E_i高于新解j的能量E_j时，新解将被视为当前的最优解；而当E_i低于E_j时，新解将以一定概率被接受为最优解，若不被接受，则旧解将被视为当前最优解。

单一的模拟退火算法只适用于单目标优化，因此将Pareto前沿融入到模拟退火算法中，以实现多目标优化的求解。由于多目标优化问题中的目标函数通常是不同性质且相互冲突的，几乎没有一个单一的解决方案能确保所有的目标函数都达到最佳状态，所以Pareto前沿其实是一组最优解，从中可以选择合适的解决方案。因此，通过寻找Pareto前沿，可以在多个目标函数之间找到一种平衡，以满足不同的优化需求。Pareto前沿和模拟退火算法的结合，既可以保留模拟退火算法强大的全局搜索能力，还可以突破该算法的局限性，进行双目标优化或多目标优化，图6为Pareto模拟退火算法的流程^{[
[26] 康立山. 非数值并行算法（第1册）——模拟退火算法[M]. 北京: 科学出版社, 1994.KANG Lishan. Non-numerical parallel algorithm (Volume 1)—Simulated annealing algorithm[M]. Beijing: Science Press, 1994.
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[28] 王松波. 考虑帕累托最优解的多目标优化进化算法[J]. 数学的实践与认识, 2022, 52(9): 132–146.WANG Songbo. Multi-objective optimization evolutionary algorithm considering Pareto optimal solution[J]. Mathematics in Practice and Theory, 2022, 52(9): 132–146.
26-28 ]}。

图6　 Pareto模拟退火算法流程图

Fig.6　 Flow chart of Pareto simulated annealing algorithm

3.2　优化计算过程

切削参数的多目标优化是指在切削加工过程中，同时考虑两个或多个目标函数，通过优化切削参数以达到这些目标的最佳平衡。为了提高Pareto模拟退火算法的收敛速度，更快地获得优化结果，在优化过程设置初始条件时，根据仿真分析结果将各个切削参数值设定为仿真过程所采用参数值的最大值，这样不仅能大幅缩短优化时间，还可以得到理想范围内的优化结果，并能以残余应力仿真数值作为参考来判断优化结果的合理性与算法的可行性。具体设置为：将切削参数作为自变量，设定主轴转速n为x₁，每齿进给量f_z为x₂，轴向切深a_p为x₃；将切削加工中产生的残余应力和单位时间内材料的去除率作为因变量，分别设为y和q。通过双目标优化切削参数，可以在满足加工效率的同时，尽量减小残余应力目标值，尽可能提高工件的加工精度。

3.2.1　建立约束条件

在双目标优化过程中，切削参数的优化需要考虑多种约束条件，这些约束条件既能限制优化空间，又能确保优化结果的可靠性和安全性。

主轴转速约束：

g_{1} (X) = n_{\min} - x_{1} \leq 0

（11）

g_{2} (X) = x_{1} - n_{\max} \leq 0

（12）

式中，n_min、n_max分别为机床的最低和最高主轴转速。

每齿进给量约束：

g_{3} (X) = \frac{v_{f_{min}}}{x_{1}} - x_{2} \leq 0

（13）

g_{4} (X) = x_{2} - \frac{v_{f_{\max}}}{x_{1}} \leq 0

（14）

式中， $v_{f_{\max}}$ 、 $v_{f_{min}}$ 分别为机床的最小和最大进给速度。

主切削力约束：

g_{5} (X) = \frac{C_{F} x_{2}^{q_{f}} x_{3}^{q_{a}}}{D^{q_{d}} x_{1}^{q_{n}}} K_{fc} - F_{\max} \leq 0

（15）

式中，C_F为与工件材料和切削条件相关的系数；D为铣刀直径；q_n、q_f、q_a、q_d分别为主轴转速n、每齿进给量f_z、轴向切深a_p、铣刀直径D的指数参数；K_fc为修正系数；F_max为机床允许的最大主切削力。

机床功率约束：

g_{6} (X) = \frac{π D x_{1} F_{c}}{1000} - η P_{\max} \leq 0

（16）

式中，F_c为切削力；η为机床效率；P_max为机床最大功率。

3.2.2　建立目标函数

根据残余应力理论模型的结果，建立优化目标函数如下。

Y = \min (y) = \min (\sqrt{σ_{x x}^{2} + σ_{y y}^{2} + σ_{z z}^{2}})

（17）

Q = \max (q) = \max (\frac{a_{p} \times a_{e} \times v_{f}}{1000})

（18）

式中，a_e为切削宽度。

联立残余应力优化目标函数、材料去除率目标函数和约束条件，则以减小残余应力和同时增大材料去除率为目标的优化模型为

{\begin{array}{l} Y = \min (y) \\ Q = \max (q) \\ g_{i} (X) \leq 0 & i = 1, 2, \dots, 6 \end{array}

（19）

式中，i为工件表面的测量点。

3.2.3　优化结果

Pareto模拟退火算法虽然能够在多目标优化问题中兼顾各个目标的优化要求而找到一组最优解，但这些解在多个目标函数中仅达到平衡，并非在所有目标上都为最优解。通过Matlab软件求解切削参数，得到的部分Pareto最优解集见表6。

表6　切削参数最优解集

Table 6　 Optimal solution set for cutting parameters

优化解序号	主轴转速n/（r/min）	每齿进给量f_z/（mm/z）	纵向切深a_p/mm	残余应力σ/MPa	材料去除率q/（cm³/min）
1	3736	0.059	0.22	424.18	32.0349
2	3812	0.061	0.23	424.52	34.0261
3	3774	0.060	0.23	424.35	33.0155
4	3553	0.056	0.21	423.33	27.5519

4　试验验证

4.1　试验条件与方案

高速切削钛合金试件及检测残余应力的试验过程如图7所示。切削过程采用直径为ϕ16 mm的4齿硬质合金铣刀，铣削方式为干式立铣；机床设备为VMC850E立式加工中心（沈阳机床股份有限公司）。残余应力测量仪器为X–350A型X射线应力测定仪（爱斯特应力技术有限公司），测量方法为侧倾固定ψ法，采用交相关法进行定峰，2θ扫描起始角和终止角分别为165.00°和155.00°，2θ扫描步距为0.10°，具体检测条件见表7。

图7　切削与检测的试验过程

Fig.7　 Experimental process of cutting and detection

表7　残余应力检测条件

Table 7　 Test conditions of residual stress

Ψ角/（°）	应力常数/（MPa/°）	衍射晶面	辐射	计数时间/s	X光管高压/kV
0.0，45.0	–277	（211）晶面	Cu Kα	0.50	20.0

按照表6中求得的优化结果选取相应的切削参数进行切削加工，然后测量加工后工件的残余应力。为保证检测结果的准确性，需要对X射线应力检测仪进行校准，为了保证设备的热稳定性，至少需要进行5次常规测量^{[
[29] 陈建岭, 李剑峰, 孙杰, 等. 钛合金铣削加工表面残余应力研究[J]. 机械强度, 2010, 32(1): 53–57.CHEN Jianling, LI Jianfeng, SUN Jie, et al. Surface residual stress of titanium alloy induced by milling[J]. Journal of Mechanical Strength, 2010, 32(1): 53–57.
29 ]}。在进入正式检测环节后，对各个试件表面均匀分散的6个点进行应力测量，并以数据的平均值作为本试件残余应力检测的最终结果。

4.2　试验结果与分析

根据测量方案对每个加工试件的表面残余应力进行测量，每个优化解的切削参数对应的残余应力测量结果如图8所示。取每个工件不同位置处测量值σ_测的平均值作为最终实际残余应力σ_实，并将试验结果与表6中的优化结果σ进行对比，具体情况如表8所示。

图8　残余应力测量结果

Fig.8　 Measurement results of residual stress

表8　最优切削参数的验证结果

Table 8　 Verification results of optimal cutting parameters

优化解序号	主轴转速n/（r/min）	每齿进给量f_z/（mm/z）	轴向切深a_p/mm	残余应力σ/MPa	实测残余应力σ_实/MPa	误差率/%
1	3736	0.059	0.22	424.18	341.81	24.10
2	3812	0.061	0.23	424.52	391.66	8.39
3	3774	0.060	0.23	424.35	354.56	19.68
4	3553	0.056	0.21	423.33	346.82	22.06

从表8可以看出，通过模拟退火算法求解得到的残余应力σ与铣削试验得到的残余应力σ_实的误差率在20%左右，在合理范围之内。误差的产生是由于残余应力的成因错综复杂，多种因素都会影响其最终结果。例如，试件铣削完成后未能立即进行检测，导致其表面残余应力发生了一定程度的释放；或者在检测过程中对试件造成了不当的碰撞等。尽管计算结果与试验结果存在一定偏差，但试验结果也能充分证明优化算法的可行性。

5　结论

本文针对难加工材料钛合金的高速铣削过程，提出了一种面向薄壁件残余应力分析和变形控制的优化算法，主要结论如下。

（1）在考虑内部应力和温度因素的条件下，基于McDowell模型建立了三维残余应力的理论模型。

（2）通过钛合金高速铣削的有限元仿真分析，确定了不同切削参数对工件表面残余应力σ的影响规律：主轴转速n、每齿进给量f_z和轴向切深a_p 3个切削参数的增大均会导致残余应力σ变大，其中每齿进给量f_z对残余应力σ的影响程度最大。

（3）根据残余应力理论模型和仿真分析结果，以减小残余应力和同时增大材料去除率为优化目标，采用Pareto模拟退火算法对切削参数进行了双目标优化，最终通过优化算法的求解获取了一组最优解集。

（4）通过高速铣削试验对切削参数优化结果进行了验证，结果表明，优化算法求解的残余应力与试验测量的残余应力之间的误差率在合理范围内，说明该优化算法可以较好地求解所需的最优解集，优化计算结果具有可靠性。

作者介绍

郭建烨　副教授，研究方向为先进加工技术及装备。

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