薄壁结构被广泛应用于航空航天、汽车等行业，可以提高结构效率并减轻其整体重量。然而，由于薄壁件在垂直于壁面方向上的刚度较低，在铣削过程中容易产生颤振，其稳定性直接受限于结构的动力学参数^{[ [1]  李忠群, 丁鹏, 杨雨, 等. 航空薄壁零件切削加工技术研究进展[J]. 航空制造技术, 2024, 67(7): 38–53.LI Zhongqun, DING Peng, YANG Yu, et al. Research progress in machining technology of aerospace thin-walled parts[J]. Aeronautical Manufacturing Technology, 2024, 67(7): 38–53.
1 ]}，从而影响关键结构件的加工质量和使用性能。因此，准确识别动力学参数对于振动特性分析、颤振预测及结构优化设计具有重要的工程意义。

目前，薄壁件铣削模态参数识别方法主要包括试验模态分析、数值模拟和混合方法。在试验模态分析中，通过施加已知激励（如冲击或正弦扫描）并测量工件的动态响应，从而计算频率响应函数^{[ [2]  ZHANG X, XU H, CAO M S, et al. In-plane free vibrations of small-sag inclined cables considering bending stiffness with applications to cable tension identification[J]. Journal of Sound and Vibration, 2023, 544: 117394.
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2-3 ]}。虽然这种方法能够获得准确的模态参数，但对激励实施方式和测量设备的精度要求较高，试验条件对结果的影响也较大，因此可能需要进行多次试验调整。此外还有锤击试验法，利用锤击施加瞬时冲击，记录工件的动态响应，其中结构的频响函数是通过人工激励获得的^{[ [4]  LUO M, MEI J W, ZHANG D H. Time-domain modeling of a cutter exiting a workpiece in the slot milling process[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2016, 29(6): 1852–1858.
4 ]}，导致识别结果严重依赖于操作人员的经验。数值模拟法中最典型的有限元分析法一直备受广大研究学者的青睐^{[ [5]  BAYLY P V, HALLEY J E, MANN B P, et al. Stability of interrupted cutting by temporal finite element analysis[J]. Journal of Manufacturing Science and Engineering, 2003, 125(2): 220–225.
5 ]}。例如，Wang等^{[ [6]  WANG D Z, REN J X, TIAN W J, et al. Predicting the dynamics of thin-walled parts with curved surfaces in milling based on FEM and Taylor series[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2019, 103(1): 927–942.
6 ]}提出了一种基于有限元法的铣削薄壁叶片结构时变动力学预测方法；Shi等^{[ [7]  SHI J H, SONG Q H, LIU Z Q, et al. A novel stability prediction approach for thin-walled component milling considering material removing process[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2017, 30(5): 1789–1798.
7 ]}利用试验数据对有限元模型得到的结果进行了调整。然后建立了工件时变动力学方程；Stepan等^{[ [8]  STEPAN G, KISS A K, GHALAMCHI B, et al. Chatter avoidance in cutting highly flexible workpieces[J]. CIRP Annals, 2017, 66(1): 377–380.
8 ]}建立了结构件的有限元模型，通过数值模拟计算其振动特性，预测其固有频率、振型和阻尼比等参数；Crichigno等^{[ [9]  CRICHIGNO FILHO J M, NEGRI D, MELOTTI S. Stable milling of cantilever plates using shell finite elements[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2018, 99(9): 2677–2693.
9 ]}建立了壳单元有限元模型，预测悬臂板在不同刀具位置的颤振稳定性。此外，动力学仿真技术也被用于估计模态参数的变化^{[ [10]  杨昀, 张卫红, 党建卫, 等. 航空薄壁件铣削加工动力学仿真技术[J]. 航空制造技术, 2018, 61(7): 42–47, 69.YANG Yun, ZHANG Weihong, DANG Jianwei, et al. Dynamic modelling technology on milling process of aerospace thin-walled workpiece[J]. Aeronautical Manufacturing Technology, 2018, 61(7): 42–47, 69.
10 ]}。虽然数值模拟能够处理复杂的几何形状和材料特性，但模型的建立和计算往往需要大量时间和计算成本，且模型精度依赖于输入材料和边界条件的准确性。混合方法通过结合试验数据和数值模拟结果，从输出信号的测量值中提取模态参数。例如，利用稳定性逆解法，先通过试验估计多种主轴转速下的临界切削深度和振动频率，再通过解析法、迭代法或回归法得到模态参数^{[ [11]  EYNIAN M. In-process identification of modal parameters using dimensionless relationships in milling chatter[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2019, 143: 49–62.
11 ]}。这种技术现已被广泛应用于解决工程中的振动问题。Powałka等^{[ [12]  POWAŁKA B, JEMIELNIAK K. Stability analysis in milling of flexible parts based on operational modal analysis[J]. CIRP Journal of Manufacturing Science and Technology, 2015, 9: 125–135.
12 ]}通过采集加速度信号来估计工件的动态模态参数，并通过切削力模型计算缩放模态参数。为了准确计算模态参数并减少噪声的干扰，随机子空间（SSI）法^{[ [13]  ZHOU K, XIE D L, XU K, et al. A machine learning-based stochastic subspace approach for operational modal analysis of civil structures[J]. Journal of Building Engineering, 2023, 76: 107187.
13 ]}引起了众多研究者的关注，该方法的优势在于处理大型数据集的能力及对测量噪声和干扰的固有鲁棒性^{[ [14]  LI B, LIANG W, YANG S M, et al. Automatic identification of modal parameters for high arch dams based on SSI incorporating SSA and K-means algorithm[J]. Applied Soft Computing, 2023, 138: 110201.
14 ]}。例如，Wei等^{[ [15]  WEI Q Y, SHEN L, KÖVESDI B, et al. A lightweight stochastic subspace identification-based modal parameters identification method of time-varying structural systems[J]. Journal of Sound and Vibration, 2024, 570: 118092.
15 ]}提出了一种轻量级的子空间迭代随机化SVD（lwSSI）方法，将随机化SVD嵌入到SSI–COV中，从而降低矩阵分解的维度，提高计算速度。随机子空间法直接对结构的响应数据进行时域处理和分析，利用空间投影理论剔除与响应数据无关的噪声信号，具备较好的抗噪声能力，对于模态密集的系统，识别效果尤为显著。随机子空间法能够较为准确地识别结构的模态参数，是目前针对梁、板等结构较为先进的振动模态参数识别方法。

结构模态参数识别是结构动力学的经典反问题，动力学建模、有限元等方法正面分析结构的动力学特性时，往往因为结构复杂、建模困难及计算量大等原因难以实现准确识别，而试验等方法对数据量、测量环境等要求较高，预测精度难以保证。近年来，数据驱动法已逐渐成为各学科中一种新兴且更有效的方法^{[ [16]  CHUO Y S, LEE J W, MUN C H, et al. Artificial intelligence enabled smart machining and machine tools[J]. Journal of Mechanical Science and Technology, 2022, 36(1): 1–23.
16 ]}，从数据挖掘响应特征并获取规律，从而预测其他或未知的数据，可以弥补现有方法的不足。例如，在动力学参数识别方面，李法贵等^{[ [17]  李法贵, 王若奇, 孙玉文. 基于深度神经网络的机器人加工系统模态特性预测[J]. 航空制造技术, 2023, 66(3): 85–92, 124.LI Fagui, WANG Ruoqi, SUN Yuwen. Modal characteristics prediction of robotic machining systems based on deep neural network[J]. Aeronautical Manufacturing Technology, 2023, 66(3): 85–92, 124.
17 ]}提出了一种基于深度神经网络的模态预测方法；Park等^{[ [18]  PARK S S, AMANI S, LEE D Y, et al. Machine learning based substructure coupling of machine tool dynamics and chatter stability[J]. CIRP Annals, 2024, 73(1): 297–300.
18 ]}利用机器学习的方法预测铣削过程刀尖的动力学特征并进行稳定性预测；Liu等^{[ [19]  LIU D S, LUO M, ZHANG Z, et al. Operational modal analysis based dynamic parameters identification in milling of thin-walled workpiece[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2022, 167: 108469.
19 ]}提出了一种薄壁工件动态参数的纯输出模态辨识方法，在分析铣削力激励的基础上，建立了考虑谐波响应和噪声响应的工件响应信号模型。

目前基于机器学习的动力学参数识别仅是针对刀具或者简单针对响应信号的单一特征训练，对薄壁件的动力学参数几乎没有涉及。模态参数是结构动力特性的基本指标，其识别是结构健康监测的关键环节。为了进一步推动数据驱动法在薄壁件铣削动态特性分析中的应用，本文从结构振动响应信号出发，反向分析其动力学特性。建立曲面薄壁件铣削系统的状态模型，并推导出广义铣削系统离散化的随机状态空间方程；建立物理指导的数据驱动模态参数识别神经网络模型，构建输入特征与模态参数之间的函数关系；最后通过试验验证模型的准确性。此方法可有效解决加工过程中的不确定性问题，减少人为干扰，为结构的振动特性分析和颤振预测等提供重要的工程依据。

曲面薄壁件几何形状如图1所示，其设计特点为呈“S”形状的等厚缘条和矩形基座组合，两条“S”形曲线在基座平面的投影互相交叉，并具有在交汇处转换变化弯曲形状的开、闭角形态。工件的长、宽、高分别为L、W、H；h₁为工件壁厚；x–y–z为机床固定坐标系。

考虑x和y方向的振动，建立曲面薄壁件的铣削动力学方程如下

式中，M(t)=[m_x′(t) m_y′(t)]^T；K(t)=[k_x′(t) k_y′(t)]^T；C(t)=[c_x′(t) c_y′(t)]^T；q(t)=[x′(t) y′(t)]^T。M∈R^2n×n、K∈R^2n×n、C∈R^2n×n分别为质量、刚度和阻尼矩阵；$K^{\prime }\text{(}t\text{)}=a_{\text{p}}{\left[\begin{array}{cc}{h}_{x^{\prime }{x}^{\prime }}(t)& h_{x^{\prime }{y}^{\prime }}(t)\\ h_{x^{\prime }{x}^{\prime }}(t)& h_{x^{\prime }{x}^{\prime }}(t)\end{array}\right]}^T$^{[ [20]  WANG X J, SONG Q H, LIU Z Q. Dynamic model and stability prediction of thin-walled component milling with multi-modes coupling effect[J]. Journal of Materials Processing Technology, 2021, 288: 116869.
20 ]}；a_p为轴向切削深度；q（t）为n×1维的t时刻位移向量；F₀（t）是静态切削力。

子空间参数辨识是基于可观测矩阵得到的系统矩阵，再经发展得到的辨识方法，但由于再生颤振的影响，铣削加工系统同时又引入了时滞因素，使得系统更加难以辨识。建立广义铣削系统的状态模型是模态辨识的前提。系统的状态空间模型由状态方程和输出方程组成，状态方程包括n维系统中n个状态变量构成的一阶微分方程组，输出方程是系统输出和状态变量之间的函数关系。因此首先建立系统的状态空间模型，将式（1）左乘M^–1并整理得到

对于振动系统，系统的输出响应可以通过传感器获得，其输出方程可表示为

式中，C^a∈R^l×n、C^v∈R^l×n、C^d∈R^l×n分别为加速度、速度、位移的输出矩阵；Y（t）为l×1维的输出；l为所布置的传感器个数。

定义系统的状态向量$X(t)=$${\left[q(t)，\dot{q}(t)\right]}^{\text{T}}$，则$X(t-T)=[q(t-T)$，${\dot{q}(t-T)]}^{\text{T}}$，X（t）∈R^2n×1。代入式（2）和（3），获得系统的状态方程和系统的输出方程，即

其中，

通过以上获得曲面薄壁件铣削系统的连续状态方程，可以看出任意时刻的输入/输出关系都可以被精确表达。但在实际切削过程中，只能采集离散时间刻度下的输入/输出值，而且在利用计算机处理数据时，直接分析无限长的连续信号不现实，只能截取有限长度的离散信号数据点作为输入，因此需要将连续时间状态方程离散化。

在一个时滞内，将刀齿接触周期T等分为m个微单元，每个微单元的长度为τ，设时间步长τ=k_t+1–k_t，t∈（0，T）。X_k为k_t时刻系统的状态向量；X_k+1为k_t+1时刻系统的状态向量；Y_k+1为k_t+1时刻系统的输出向量。因此，曲面薄壁件铣削系统离散状态空间模型可以表示为

式中，A_k是一个与A⁰、A¹有关的矩阵，此处称为系统的离散状态矩阵，描述了系统的动力学特征；B_k是一个与A⁰有关的矩阵，称为系统的离散输入矩阵；C_k为系统的离散输出矩阵；D_k为传递矩阵^{[ [21]  XU M Q, AU F T K, WANG S Q, et al. Operational modal analysis under harmonic excitation using Ramanujan subspace projection and stochastic subspace identification[J]. Journal of Sound and Vibration, 2023, 545: 117436.
21 ]}。

由以上可推导出系统的识别模型。但在实际加工过程中，切削力的强波作用和机床等噪声影响会引入辨识误差。因此本文综合考虑系统的过程噪声和测量噪声^{[ [21]  XU M Q, AU F T K, WANG S Q, et al. Operational modal analysis under harmonic excitation using Ramanujan subspace projection and stochastic subspace identification[J]. Journal of Sound and Vibration, 2023, 545: 117436.
21 ]}，采用随机状态空间模型表示为

式中，w_k∈R^2n×1是由模型误差和干扰造成的过程噪声；v_k∈R^l×1是测量过程中产生的误差。

本文从信号出发，反面分析薄壁件铣削系统的动态特性。然而，由于铣削过程采集数据量大且存在高维非线性映射关系等不确定性因素，单纯依赖数据驱动的方法难以获得理想效果。因此，提出了一种结合物理指导的数据驱动模型。一方面，利用积累的先验知识保证预测结果符合物理机理；另一方面，通过对测量数据的分析，提取系统动态特性的规律，并将这些规律应用于预测或判定工件的未知铣削状态。该方法的实施过程如图2所示。

机器学习模型主要包括3个步骤：（1）建立模态参数识别神经网络；（2）通过滑动窗口进行数据降维，提取信号特征；（3）设置信号特征作为输入，实现模态参数的识别。

模态参数识别神经网络模型如图3所示，该模型包括1个输入层、4个隐藏层和1个输出层。设置批量大小Batch size为16，神经网络具体结构参数及每一层的输入和输出维度如表1所示。在前向传播过程中，将输入信号的特征值与输入层–隐藏层的权值相乘得到U_i，如式（9）所示。随后，通过Sigmoid激活函数得到隐藏层的输出H_k，如式（10）所示。将隐藏层的输出与隐藏层–输出层的权值相乘，激活函数完成后得到前向传播预测函数，如式（11）所示。

式中，ω_i，j为输入层到隐藏层的权重；ω_j，_k为隐藏层到输出层的权重；f_j为输入的特征值；i为隐藏层神经元的索引；j为输入特征的索引；k为输出层神经元的索引。

预测值与实际值之间的误差如式（12）所示。在反向传播过程中，通过将误差反向传回神经网络的每一层，进行权值的优化调整，使误差逐渐减小，直到小于阈值。网络权重更新如式（13）所示。

式中，y_j、J_p、$\tilde{\gamma }$分别为预测模态参数的实际值、误差和学习率。

在模型训练阶段，保证训练集和测试集不存在任何潜在的数据重叠，所有数据样本的20%作为测试集。根据以上描述，模态参数识别神经网络的训练和测试过程可以总结为算法1，具体步骤如下。

（1）步骤1：从降维的数据中提取信号特征$\chi =\{\chi p\in R^{N\times C\times F}\text{|}$$p=1，\dots ，N\}$，其中p为数据集中的样本索引；C为特定的传感通道；F为提取的特征。

（2）步骤2：根据表1描述的结构参数建立含有4个隐藏层的神经网络。

（3）步骤3：输入特征值传入神经网络，逐层计算。每层的输出是激活函数作用于前一层的输出和当前层权重的线性组合。利用式（12）计算误差。

（4）步骤4：进行反向传播，利用式（13）计算误差梯度，更新权重。

（5）步骤5：达到最大迭代数或误差小于阈值时，得到训练好的BP神经网络，利用训练好的BP神经网络预测测试样本的模态参数。

为了验证本文所提神经网络的准确性，在VMC0540D数控机床上开展一系列铣削试验，如图4所示，试验设备包括3个单相加速度传感器、奇石乐旋转测力仪和采集振动信号的NI设备。所用工件为根据国际标准（ISO10791—7：2020）设计的S形曲面薄壁件，该工件将航空零件的薄壁、自由曲面、形状不规则等若干加工特征集成为一体，是加工某些航空用复杂型面薄壁零件的典型代表，具体几何尺寸为长度L 280 mm、宽度W 204 mm、高度H 50 mm、壁厚h₁ 5 mm、r₁ 66 mm、r₂ 60 mm。工件的物理参数如表2所示，其中，工件材料为7075铝合金，底座为刚体质量块。铣削试验选用的刀具为直径12 mm、长度75 mm、螺旋角38°的四刃铣刀，材料为硬质合金。切削参数设定为每齿进给量0.06 mm/min、轴向切深5 mm、径向切深0.6 mm；边界条件为一端固支一端悬臂的常规设置。随机选取3个切削位置（P₁、P₂和P₃）作为测量点并分别将传感器放在相应处。

试验中共采集了40次走刀、3个不同加工位置、7个通道，共280组加速度数据和切削力数据。图5为不同加工位置加速度数据的时频域分析。通常，随机子空间法需要测量大量数据进行预测，且所获结果中引入的虚假模态较多，需要结合稳定直方图和人工经验知识进行判断。而由图5可知，基于机器学习的模态参数识别方法收敛速度快，计算复杂度低。与传统方法相比，此方法无需人工判断即可自动确定模态参数。

然后，对测得的振动数据进行特征提取。对采集加速度和切削力信号的7个通道进行特征提取，每个通道提取10个特征，共生成70个特征。提取的具体时域特征、频域特征和时频域特征如表3所示，将提取的特征输入到模态参数识别神经网络中。由于本文参考的随机子空间参数识别方法以加速度为输入信号，因此选用加速度振动信号为例给出参数识别结果的对比。

神经网络训练过程中的损失变化如图6所示，其中，图6（a）是固有频率预测模型在训练过程中的损失变化，图6（b）是阻尼比预测模型在训练过程中的损失变化。可以看出，在训练开始时，两种损失均迅速下降，固有频率预测损失和阻尼比预测损失分别在第12 Epoch和第100 Epoch达到收敛状态。固有频率预测的最优模型参数为学习率$\tilde{\gamma }$ 0.005、学习周期Epoch 500；阻尼比预测的最优模型参数为学习率$\tilde{\gamma }$ 0.09、学习周期Epoch 500。

利用最优模型参数对测试样本进行模态参数神经网络预测，图7和8为曲面薄壁件切削位置1处的前4阶固有频率和阻尼比，表4对比了本文方法与解析法^{[ [21]  XU M Q, AU F T K, WANG S Q, et al. Operational modal analysis under harmonic excitation using Ramanujan subspace projection and stochastic subspace identification[J]. Journal of Sound and Vibration, 2023, 545: 117436.
21 ]}的预测结果。从图7和8可以看出，模态参数神经网络模型预测的固有频率和阻尼比与实际值吻合度较好。由表4可知，本文所提方法对固有频率和阻尼比的预测，与前人研究方法的预测结果相差较小，说明本文所提方法在预测模态参数时有效且较准确。以均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）作为神经网络模型预测效果的评价指标，如图9所示。可知，前4阶固有频率预测的最小RMSE和MAE分别为0.00182 Hz和0.00106 Hz，最大RMSE和MAE分别为0.00672 Hz和0.00415 Hz；前4阶阻尼比预测的最小RMSE和MAE分别为0.00712和0.00599，最大RMSE和MAE分别为0.03652和0.03285。RMSE和MAE指标均在允许误差范围内。

本文提出了一种基于机器学习的曲面薄壁件铣削动力学参数识别方法，结合随机子空间理论，建立了曲面薄壁件铣削状态空间模型。通过滑动窗口技术提取信号特征，然后将信号特征输入到模态参数识别神经网络中，利用设计的参数识别损失函数实现模态参数的自动识别，最后通过开展S形标准样件的铣削试验，验证所提方法的准确性，主要结论如下。

（1）模态参数识别神经网络预测前4阶固有频率的最小均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）分别为0.00182 Hz和0.00106 Hz，最大RMSE和MAE分别为0.00672 Hz和0.00415 Hz。

（2）模态参数识别神经网络预测前4阶阻尼比的最小RMSE和MAE分别为0.00712和0.00599，最大RMSE和MAE分别为0.03652和0.03285，表明该方法能够自动从结构响应中提取模态信息，抗干扰能力较强，可准确识别模态参数。

（3）基于机器学习方法预测的S形样件铣削动力学参数准确性较高。与解析法不同，神经网络自动识别模态参数的过程能够不断自优化，从而避免加工过程中不确定性因素的影响。综上，本文所提神经网络模型的预测更高效、结果更精确。