考虑刀具姿态的铣削力系数在线辨识方法*

基金项目：

国家自然科学基金（51605346，52005201）。

通信作者：

朱泽润，讲师，博士，研究方向为铣削力建模与在线监测。

编辑

责编　：向阳

引文格式：

段现银, 张泽州, 朱泽润, 等. 考虑刀具姿态的铣削力系数在线辨识方法[J]. 航空制造技术, 2025, 68(6): 48–57.

Online Identification Method for Milling Force Coefficients Considering Cutter Orientation

Citations

DUAN Xianyin, ZHANG Zezhou, ZHU Zerun, et al. Online identification method for milling force coefficients considering cutter orientation[J]. Aeronautical Manufacturing Technology, 2025, 68(6): 48–57.

航空制造技术第68卷第6期 48-57

Aeronautical Manufacturing Techinology Vol.68 No.6 : 48-57

DOI: 10.16080/j.issn1671-833x.2025.06.048

论坛 >> 薄壁件控形控性制造（FORUM >> Shape- and Property-Control Manufacture of Thin-Walled Part）

考虑刀具姿态的铣削力系数在线辨识方法*

段现银 ¹
张泽州 ¹
朱泽润 ^2✉
陈晨 ¹
谢良喜 ¹

1.武汉科技大学机械工程学院，武汉 430081

2.武汉工程大学机电工程学院，武汉 430205

通信作者：

朱泽润，讲师，博士，研究方向为铣削力建模与在线监测。

基金项目：

国家自然科学基金（51605346，52005201）。

引文格式：

段现银, 张泽州, 朱泽润, 等. 考虑刀具姿态的铣削力系数在线辨识方法[J]. 航空制造技术, 2025, 68(6): 48–57.

摘要

航空构件的智能化加工对在线监测与故障预警提出了迫切需求，尤其是在薄壁件和复杂曲面件的五轴铣削加工过程中，铣削力的精确预测对于优化工艺至关重要。然而，五轴铣削加工的工艺条件与切削几何特性更加复杂，为铣削力系数的精确辨识带来巨大挑战。为此，本文提出了一种考虑刀具姿态的铣削力系数在线辨识方法，通过单个刀具旋转周期内的五轴加工铣削力信号，实现了铣削力系数的精确在线辨识。基于五轴铣削力预测的机械力学模型，系统考虑刀具倾角的影响，建立了刀具–工件接触区域边界的特征线、交线及投影线的解析表达式，并在平均未变形切屑厚度模型中引入了考虑刀具倾角的瞬时未变形切屑厚度，进而构建了包含刀具姿态影响的五轴铣削力系数辨识模型。通过五轴铣削加工与切削力在线监测试验，分别开展了未考虑刀具姿态和考虑刀具姿态的铣削力系数辨识及铣削力预测，并对不同模型在五轴铣削力预测中的误差进行了对比分析。试验结果表明，考虑刀具姿态的铣削力系数辨识方法能够显著提高五轴铣削力预测的精度，研究为航空构件智能加工过程的在线监测、故障预警及工艺优化提供了重要的方法基础和理论支撑。

关键词

铣削力系数;五轴加工;刀具姿态;参数化模型;在线监测;智能加工;

Online Identification Method for Milling Force Coefficients Considering Cutter Orientation

DUAN Xianyin ¹
ZHANG Zezhou ¹
ZHU Zerun ^2✉
CHEN Chen ¹
XIE Liangxi ¹

1.School of Mechanical Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China

2.School of Mechanical and Electrical Engineering, Wuhan University of Engineering, Wuhan 430205, China

Citations

Abstract

Intelligent machining of aerospace components has created an urgent demand for online monitoring and fault prediction, particularly in five-axis milling of thin-walled parts and complex curved surfaces. Accurate milling force prediction is critical for process optimization. As the commonly used crucial technique in components milling, five-axis milling is of the advantage of excellent adaptability, enabling its application in gas turbine blade, aero-engine blade and turbine components. However, the complex process conditions and cutting geometry in five-axis milling present significant challenges for precise identification of milling force coefficients. This paper proposes an online identification method for milling force coefficients that considers cutter orientation. By analyzing the milling force signals within a single cutter rotation cycle, precise online identification of milling force coefficients is achieved. Based on a mechanical model for five-axis milling force prediction, the influence of cutter inclination is systematically considered. Analytical expressions are developed for the characteristic lines, intersection lines, and projection lines defining the cutter–workpiece contact area boundaries. Additionally, an instantaneous undeformed chip thickness model incorporating cutter inclination is introduced, leading to the construction of a five-axis milling force coefficient identification model that accounts for cutter orientation effects. Five-axis milling experiments and online monitoring of cutting forces were conducted to compare the milling force coefficient identification and prediction accuracy with and without considering cutter orientation. Error analyses were performed for different models in five-axis milling force prediction. The experimental results show that the proposed method significantly improves the accuracy of milling force prediction. This study provides an essential methodological foundation and theoretical support for online monitoring, fault prediction, and process optimization in the intelligent machining of aerospace components.

Keywords

Milling force coefficients; Five-axis machining; Cutter orientation; Parametric model; Online monitoring; Intelligent machining;

航空装备的快速发展对航空构件加工质量的要求日益提高。在复杂曲面构件的加工过程中，五轴铣削技术凭借其优异的适应性，成为实现复杂曲面和结构零件精密制造的重要手段^{[
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近年来，在五轴铣削加工中的未变形切屑厚度建模和刀具–工件接触区域确定方面，得到了一定研究成果。桂昊等^{[
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现有研究表明，对于特定的刀具–工件材料组合，工艺参数（如切削宽度、切削深度、进给速度和主轴转速）是决定铣削力系数变化的重要因素。然而，航空构件通常为复杂曲面，须通过五轴加工完成精密制造。现阶段，五轴铣削力系数辨识仍在使用通过三轴铣削试验获取的数据，未能充分考虑刀具姿态对铣削过程的显著影响。

此外，已有的铣削力系数辨识研究主要集中于通过少量辨识试验获取铣削力系数，用于离线切削力的预测和结果分析，从而降低试验成本。然而，在智能制造背景下，难加工材料复杂曲面的五轴铣削对智能化加工提出了更高要求。由于复杂曲面的可达空间受限和难加工材料高强度和高硬度的特点，加工过程出现故障的可能性较大，加工系统对实时监测和控制的需求也日益迫切。同时，五轴加工刀具姿态的动态变化会显著影响刀具与工件之间的接触关系，导致在特定工艺条件下辨识的铣削力系数难以适应实际工况。

随着加工设备和计算技术的不断发展，铣削力系数辨识试验的技术和成本限制得到缓解，铣削力在线测量与实时辨识成为可能。在这一背景下，加工过程的物理量在线监测与故障实时预警成为加工系统智能化的核心需求。为适应复杂曲面的五轴铣削加工，亟须探索一种适应刀具姿态动态变化的铣削力系数在线辨识方法，为铣削力的精确实时预测提供方法和理论支持。

为此，本文提出了一种考虑刀具姿态的五轴加工铣削力系数在线辨识方法，通过建立考虑刀具倾角的铣削力系数辨识模型，仅需一个刀具旋转周期的铣削力信号，即可完成铣削力系数的快速精确辨识。基于五轴铣削力预测机械力学模型，推导了五轴铣削过程中刀具曲面与工件曲面接触区域边界曲线的解析表达式，并构建了综合考虑刀具倾角特征线、交线及投影线的模型。通过考虑刀具倾角的影响，以及未变形切屑厚度和铣削力系数等的模型转换，完成了包含刀具姿态的铣削力预测模型的参数化描述。最后，通过五轴铣削加工及切削力在线监测试验，分别对未考虑刀具倾角和考虑刀具倾角的铣削力系数辨识方法进行了对比分析。研究为复杂曲面的智能化五轴加工提供了理论和方法支持。

1　铣削力系数辨识方法

在铣削力预测的机械力学模型研究中，已有文献报道证明，当瞬时未变形切屑厚度h增大时，铣削力系数将呈指数形式迅速减小^{[
[7] DUAN X Y, PENG F Y, ZHU Z R, et al. Cutting edge element modeling-based cutter–workpiece engagement determination and cutting force prediction in five-axis milling[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2019, 102(1): 421–430.
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10 ]}，而且，无论是三轴还是五轴铣削加工，均通过刀具呈无倾角的铣削试验进行辨识，因此铣削力系数{K_r，K_t，K_a}与平均未变形切屑厚度 $\bar{h}$ 的关系为

{\begin{array}{l} K_{r} (\bar{h})= a_{r} + b_{r} e^{- c_{r} \bar{h}} \\ K_{t} (\bar{h})= a_{t} + b_{t} e^{- c_{t} \bar{h}} \\ K_{a} (\bar{h})= a_{a} + b_{a} e^{- c_{a} \bar{h}} \end{array}

（1）

式中，{a_r，a_t，a_a}{b_r，b_t，b_a}和{c_r，c_t，c_a}为拟合系数，通过刀具呈无倾角的铣削试验来辨识确定； $\bar{h}$ 的计算式为

\bar{h} = \frac{\sum_{j = 1}^{N} \int_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} f sin φ d φ}{\sum_{j = 1}^{N} (z_{2, j} - z_{1, j})}

（2）

式中，z_1，j和z_2，j分别为第j个切削刃中参与接触部分的下边界和上边界；f为进给速度；N为刀具齿数；φ为径向位置角。

根据上述结论，仍按照式（1）和（2）将铣削力系数{K_r，K_t，K_a}表示为平均未变形切屑厚度 $\bar{h}$ 的指数函数形式。然而，在之前的铣削力系数研究中，所开展辨识试验中的刀具均无倾角，即刀具前倾角和侧倾角均为0。在五轴铣削加工中，刀具–工件接触区域边界z_1，j、z_2，j和瞬时未变形切屑厚度h均为与刀具姿态相关的时变量，受到刀具倾角的影响。

刀具姿态由刀具轴线与工件设计曲面上刀触点法向量之间的角度关系确定，并通过前倾角θ_L和侧倾角θ_T得到唯一确定^{[
[1] DUAN X Y, PENG F Y, ZHU K P, et al. Tool orientation optimization considering cutter deflection error caused by cutting force for multi-axis sculptured surface milling[J]. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2019, 103(5): 1925–1934.
1 ]}。本文对刀具姿态的描述如图1所示，前倾角为刀具轴线与刀触点处法向量之间的夹角θ_L（局部放大图），侧倾角则是刀具绕刀触点局部坐标系进给方向x旋转的角度θ_T。

图1　刀具姿态和前倾角、侧倾角的关系

Fig.1　 Relationship between cutter orientation and inclination & roll angle

目前，还未见有文献报道在铣削力系数模型中考虑刀具姿态的影响。因此，在式（1）和（2）的基础上，提出一种考虑刀具姿态的铣削力系数辨识模型。

1.1　五轴铣削力模型

在铣削力机械力学模型中，通用的基本假设为，微元铣削力与参与切削接触的微元面积成正比。本文仍依据该假设开展五轴铣削力系数辨识，首先构建五轴铣削力模型。

在某一切削刃微元z处所受铣削力F_q，j的机械力学模型为

d F_{q, j} (z) = K_{q} h d b (z)

（3）

式中，K_q为径向、切向和轴向铣削力系数矢量；j为切削刃编号。

为了考虑刀具姿态的影响，将瞬时未变形切屑厚度h表达为刀具倾角的函数，即^{[
[8] ZHU Z R, YAN R, PENG F Y, et al. Parametric chip thickness model based cutting forces estimation considering cutter runout of five-axis general end milling[J]. International Journal of Machine Tools and Manufacture, 2016, 101: 35–51.
8 ]}

h (θ_{L}) = \frac{f}{n N} (cos θ_{L} sin κ sin φ - sin θ_{L} cos κ)

（4）

式中，n为刀具旋转速度；κ为轴向位置角。

式（3）中，db（z）为未变形切屑宽度，计算式为

d b (z) = \frac{d z}{sin κ}

（5）

式中，dz为切削刃沿轴向离散的微元。

应用式（3）所述的切削刃微元z处铣削力模型，沿着参与接触的切削刃（z_1，j，z_2，j）对微元铣削力dF_q，_j进行积分，并将所有N个切削刃上的作用力进行求和，得到t时刻所有参与接触切削刃的瞬时三向铣削合力F_q，再通过旋转变换将铣削力F_q从微元坐标系转换到刀位点坐标系，得到该时刻瞬时三向铣削力F_x，y，z为

[F_{x, y, z} (φ)] = \sum_{j = 1}^{N} {\int_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} A d F_{q, j} (z)}

（6）

式中，A为切削刃微元坐标系到刀位点坐标系的旋转变换矩阵，即

A = [\begin{matrix} - sin κ sin φ & - cos φ & - cos κ sin φ \\ - sin κ cos φ & sin φ & - cos κ cos φ \\ cos κ & 0 & - sin κ \end{matrix}]

（7）

在式（6）中，刀具–工件接触区域边界z_1，j和z_2，j均将考虑刀具姿态的影响，具体将在1.2节中进行论述，结合式（4）瞬时未变形切屑厚度h也考虑刀具姿态的影响，构建了考虑刀具姿态影响的五轴铣削力机械力学模型。

1.2　刀具–工件接触区域确定

为了精确获取式（6）中的积分界限，通过解析方式确定刀具–工件接触区域。将刀具在五轴铣削加工中接触区域的边界曲线划分为特征线、交线和投影线，3条边界曲线如图2所示。

图2　刀具–工件接触区域边界线

Fig.2　 Boundary curves of the cutter–workpiece contact area

在图2中，特征线z_u（红色虚线）描述刀具扫掠面与刀具回转面之间相交的部分，通过轴向位置z和径向位置角φ将特征线描述为关于刀具前倾角θ_L的函数，即

{\begin{array}{l} z (θ_{L})= r (1 - \sqrt{\frac{{sin}^{2} φ}{{sin}^{2} φ {+tan}^{2} θ_{L}}}) ， & 0 \leq z < r \\ φ ={0, π} ， & r \leq z < H \end{array}

（8）

式中，r为刀具圆角半径；H为刀具参与接触部分的高度。从式（8）可以看出，特征线z_u在不同区域中都与刀具前倾角θ_L相关。

交线z_v（绿色虚线）是刀具回转面与工件未加工表面之间相交的部分，由于刀具回转面在工件坐标系下与其前倾角和侧倾角均相关，所以在交线z_v的建模过程中需要考虑θ_L和θ_T。因此，将交线描述为关于刀具前倾角θ_L和侧倾角θ_T的函数，通过轴向位置z和径向位置角φ表示如下

当θ_L≠0或θ_T≠0时，

{\begin{array}{l} z (θ_{L}, θ_{T}) = \frac{- b^{'} \pm \sqrt{{b^{'}}^{2} - 4 a^{'} c^{'}}}{2 a^{'}} & , 0 \leq z < r \\ z (θ_{L}, θ_{T}) = m^{'} + \frac{D}{2} n^{'} & , r \leq z < H \end{array}

（9）

式中，a′、b′、c′、m′和n′均为中间变量，分别为

{\begin{array}{l} a^{'} (θ_{L}, θ_{T}) = 1 + {n^{'}}^{2} \\ b^{'} (θ_{L}, θ_{T}) = - 2 (m^{'} + n^{'} (\frac{D}{2} - r) + {n^{'}}^{2} r) \\ c^{'} (θ_{L}, θ_{T}) = {(m^{'} + n^{'} (\frac{D}{2} - r))}^{2} \\ \begin{array}{l} m^{'} (θ_{L}, θ_{T}) = x_{c} \tan θ_{L} + y_{c} \frac{\tan θ_{T}}{\cos θ_{L}} + \\ z_{c} + \frac{Δ z}{\cos θ_{L} \cos θ_{T}} \end{array} \\ n^{'} (θ_{L}, θ_{T}) = \sin φ \tan θ_{L} - \cos φ \frac{\tan θ_{T}}{\cos θ_{L}} \end{array}

（10）

式中，D为刀具直径；x_c、y_c和z_c分别为当前刀路上的刀触点在工件坐标系中的坐标值；Δz为切削深度。

当θ_L=θ_T=0时，

{\begin{array}{l} z = Δ z + z_{c} \\ φ = [0, π] \end{array}

（11）

在图2中，投影线z_w（蓝色虚线）为前一相邻刀路特征线在当前刀路刀位点处刀具回转面上的曲线段，将投影线通过轴向位置z和径向位置角φ进行隐式表达，即

{\begin{array}{l} \begin{array}{l} \frac{x - x ({}^{T}P_{u (p)})}{x ({}^{T}F_{(p)})} = \frac{z - z ({}^{T}P_{u (p)})}{z ({}^{T}F_{(p)})} = \\ \frac{y - y ({}^{T}P_{u (p)})}{y ({}^{T}F_{(p)})} \end{array} \\ x = r (z) sin φ, y = r (z) cos φ \end{array}

（12）

式中，x（^TF_u（p））、y（^TF_u（p））、z（^TF_u（p））为前一相邻刀路特征线u（p）上的点在当前刀路刀具坐标系TCS下的坐标；x（^TF_（p））、y（^TF_（p））、z（^TF_（p））为刀具在前一相邻刀路刀触点的进给矢量在当前刀路刀具坐标系TCS下的各坐标轴方向分量；r（z）为刀具回转体上轴向位置z处的点到刀具轴线的距离。

在式（12）中，由于投影线为上一刀路的交线，所以刀具前倾角θ_L和侧倾角θ_T隐式地包含于式（12）中各坐标点的分量中，即投影线模型也和刀具前倾角θ_L和侧倾角θ_T相关。

对于恒螺距型的球头刀、圆角刀和平底刀，切削刃微元的径向位置角φ与刀具的局部螺旋角无关，根据加工过程中边界线的几何位置关系和边界条件，可以实现对整条切削刃上所有微元的切削状态进行一次性判断，如图2所示。

根据特征线式（8）、交线式（9）~（11）和投影线式（12），分别与切削刃线式（13）进行联立，得到刀具滞后角φ_w、φ_v、φ_u和3条边界线与切削刃线的交点z_w（φ_i+φ_w）、z_v（φ_i+φ_v）、z_u（φ_i+φ_u）。

{\begin{array}{l} d φ = m d z \\ φ = φ_{0} + m z \end{array}

（13）

然后，对边界线与切削刃线3个交点之间的相互位置进行比较，即可通过判断交点坐标位置的相对大小，确定刀具–工件接触区域的上下限边界，具体判定方法如下。

当刀具前倾角θ_L≥0时，由图2可知，刀具–工件接触区域的上边界点为交线或投影线和刀具切削刃线交点中的较小值，即z_v（φ_i+φ_v）和z_w（φ_i+φ_w）中的较小值所对应的点，表示为z₂=min{z_v（φ_i+φ_v），z_w（φ_i+φ_w）}。接触区域的下边界点为特征线和刀具切削刃线的交点，即z_u（φ_i+φ_u），表示为z₁=z_u（φ_i+φ_u）。

当刀具前倾角θ_L<0时，刀具切削状态接近于插铣状态，非本文所构建模型的涉及范围，此处不再作进一步分析。

1.3　铣削力系数辨识

根据式（2）中未考虑刀具倾角的平均未变形切屑厚度模型，引入考虑前倾角的瞬时未变形切屑厚度模型，即式（4），同时，将积分方向从周向调整为轴向，以适应本文模型架构，构建考虑刀具姿态的平均未变形切屑厚度模型 $\bar{h} (θ_{L})$ 为

\bar{h} (θ_{L}) = \frac{\bar{S}}{\bar{b}} = \frac{\int_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} \frac{h (θ_{L}) d z}{\sin κ}}{\int_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} \frac{d z}{\sin κ}}

（14）

式中， $\bar{S}$ 为接触微元面积； $\bar{b}$ 为接触微元宽度。

式（14）将式（4）中的瞬时微元未变形切屑厚度h转换为特定径向位置角时整个切削刃的平均未变形切屑厚度 $\bar{h}$ 。

基于该未变形切屑厚度 $\bar{h}$ 模型，以及未变形切屑宽度db（z）（式（5）），将瞬时三向铣削力模型（式（6））转换为参数化描述的铣削力预测模型

\begin{array}{l} [\begin{matrix} F_{x} (j, φ) \\ F_{y} (j, φ) \\ F_{z} (j, φ) \end{matrix}] = \\ \sum_{j = 1}^{N} (\frac{f}{n N} {\cos θ_{L} P_{φ} - \sin θ_{L} P_{κ}} [\begin{matrix} {\bar{K}}_{r} \\ {\bar{K}}_{t} \\ {\bar{K}}_{a} \end{matrix}]) \end{array}

（15）

式中， $\bar{K}$ _r、 $\bar{K}$ _t和 $\bar{K}$ _a分别为径向、切向和轴向铣削力系数的平均值；P_κ和P_φ是与切削刃旋转角度、切削刃位置、接触区域位置和铣削力系数相关的中间参数。

在式（15）中，通过参数化描述，将式（3）中的微元铣削力系数K_q从接触区域积分内转换到积分外，变成特定径向位置角时整个切削刃的平均铣削力系数 ${\bar{K}}_{q}$ 。

作为正向预测模型，式（15）可用于已知铣削力系数情况下的F_x、F_y和F_z三向铣削力预测，亦可基于该公式推导铣削力系数的反向辨识模型，换言之，对该参数化铣削力预测模型（式（15））进行推导，并将F_x、F_y和F_z取为三向铣削力实测值，即可构建考虑刀具姿态的平均铣削力系数模型。在实际铣削加工中，大多数场景为单齿切削，为提高预测效率、服务于在线辨识，在推导时将参数化铣削力预测模型视为单齿切削，以实现降维增效。如需进行多齿切削，增加对切削刃的求和运算即可。将铣削力系数转化为单齿切削的情况，即

\begin{array}{l} [\begin{matrix} {\bar{K}}_{r} (θ_{L}, θ_{T}) \\ {\bar{K}}_{t} (θ_{L}, θ_{T}) \\ {\bar{K}}_{a} (θ_{L}, θ_{T}) \end{matrix}] = \\ {[\frac{f}{n N} {\cos θ_{L} P_{φ} - \sin θ_{L} P_{κ}}]}^{- 1} [\begin{matrix} F_{x} (j, φ) \\ F_{y} (j, φ) \\ F_{z} (j, φ) \end{matrix}] \end{array}

（16）

式中，F_x、F_y和F_z为铣削力实测值，中间参数P_φ的计算式为

\begin{array}{l} P_{φ} = \\ \int_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} [\begin{matrix} - \sin κ \sin φ & - \cos φ & - \cos κ \sin φ \\ - \sin κ \cos φ & \sin φ & - \cos κ \cos φ \\ \cos κ & 0 & - \sin κ \end{matrix}] \sin φ d z = \\ [\begin{matrix} p_{φ x 1} & p_{φ x 2} & p_{φ x 3} \\ p_{φ y 1} & p_{φ y 2} & p_{φ y 3} \\ p_{φ z 1} & p_{φ z 2} & p_{φ z 3} \end{matrix}] |_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} \end{array}

（17）

中间参数P_κ的计算式为

\begin{array}{l} P_{κ} = \\ \int_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} [\begin{matrix} - \sin κ \sin φ & - \cos φ & - \cos κ \sin φ \\ - \sin κ \cos φ & \sin φ & - \cos κ \cos φ \\ \cos κ & 0 & - \sin κ \end{matrix}] \cot κ d z = \\ [\begin{matrix} p_{κ x 1} & p_{κ x 2} & p_{κ x 3} \\ p_{κ y 1} & p_{κ y 2} & p_{κ y 3} \\ p_{κ z 1} & p_{κ z 2} & p_{κ z 3} \end{matrix}] |_{z_{1, j}}^{z_{2, j}} \end{array}

（18）

式中，元素{p_φ（_xyz）}和{p_κ（_xyz）}分别为P_φ和P_κ在x、y和z 3个方向上的分量，如p_φx1表示中间参数P_φ在x₁方向的分量。

P_φ的分部积分结果中各分量的展开表达如表1所示，P_κ的分部积分结果中各分量的展开表达如表2所示。

表1　 P_φ的分部积分结果

Table 1　 Partial integration result of P_φ

分量	圆弧刃部分	侧刃部分
p_φx1	$\frac{\sin^{2} \bar{φ}}{r} (\frac{(r - z)}{2} \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \arcsin \frac{r - z}{r})$	$- \frac{\sin κ}{2 m} ((φ_{0} + m z) - \frac{1}{2} \sin (2 φ_{0} + 2 m z))$
p_φx2	$\frac{1}{4 m} \cos (2 φ_{0} + 2 m z)$	$\frac{1}{4 m} \cos (2 φ_{0} + 2 m z)$
p_φx3	$- \frac{1}{2 r} (r z - \frac{1}{2} z^{2}) + \frac{1}{4 m r} (r - z) \sin (2 φ_{0} + 2 m z) - \frac{1}{8 m^{2} r} \cos (2 φ_{0} + 2 m z)$	$- \frac{\cos κ}{2 m} ((φ_{0} + m z) - \frac{1}{2} \sin (2 φ_{0} + 2 m z))$
p_φy1	$\frac{1}{2 r} (\frac{(r - z)}{2} \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \arcsin \frac{r - z}{r}) \sin 2 \bar{φ}$	$\frac{1}{4 m} \sin κ \cos (2 φ_{0} + 2 m z)$
p_φy2	$\frac{1}{2} (z - \frac{1}{2 m} \sin (2 φ_{0} + 2 m z))$	$\frac{1}{2} (z - \frac{1}{2 m} \sin (2 φ_{0} + 2 m z))$
p_φy3	$\frac{1}{4 m r} (r - z) \cos (2 φ_{0} + 2 m z) + \frac{1}{8 m^{2} r} \sin (2 φ_{0} + 2 m z)$	$\frac{1}{4 m} \cos κ \cos (2 φ_{0} + 2 m z)$
p_φz1	$- \frac{1}{m r} (r - z) \cos (φ_{0} + m z) - \frac{1}{m^{2} r} \sin (φ_{0} + m z)$	$- \frac{1}{m} \cos κ \cos (φ_{0} + m z)$
p_φz2	0	0
p_φz3	$\frac{1}{r} \sin \bar{φ} (\frac{(r - z)}{2} \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} + \frac{r^{2}}{2} \arcsin \frac{r - z}{r})$	$\frac{1}{m} \sin κ \cos (φ_{0} + m z)$

注：

\bar{φ}

为φ_z1和φ_z2的平均值；φ₀为主轴旋转角度与齿间角的和；m为刀具的螺距。

表2　 P_κ的分部积分结果

Table 2　 Partial integration results of P_κ

分量	圆弧刃部分	侧刃部分
p_κx1	$\frac{1}{m r} (r - z) \cos (φ_{0} + m z) + \frac{1}{m^{2} r} \sin (φ_{0} + m z)$	$\frac{1}{m} \cos κ \cos (φ_{0} + m z)$
p_κx2	$- \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} \cos \bar{φ}$	$\begin{array}{l} - \frac{1}{m} \cot κ \sin (φ_{0} + m z) \end{array}$
p_κx3	$- \frac{\sin \bar{φ}}{2 r} ((r - z) \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} + r^{2} \arccos (\frac{r - z}{r}))$	$\frac{1}{m} \cos κ \cot κ \cos (φ_{0} + m z)$
p_κy1	$- \frac{1}{m r} (r - z) \sin (φ_{0} + m z) + \frac{1}{m^{2} r} \cos (φ_{0} + m z)$	$- \frac{1}{m} \cos κ \sin (φ_{0} + m z)$
p_κy2	$\sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} \sin \bar{φ}$	$- \frac{1}{m} \cot κ \cos (φ_{0} + m z)$
p_κy3	$- \frac{\cos \bar{φ}}{2 r} ((r - z) \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} + r^{2} \arccos (\frac{r - z}{r}))$	$- \frac{1}{m} \cos κ \cot κ \sin (φ_{0} + m z)$
p_κz1	$\frac{1}{2 r} ((r - z) \sqrt{r^{2} - {(r - z)}^{2}} + r^{2} \arccos (\frac{r - z}{r}))$	z cos k cot k
p_κz2	0	0
p_κz3	$- (z - \frac{1}{2 r} z^{2})$	-z cos k

2　试验验证与结果分析

2.1　五轴铣削加工与测力试验设置

为验证所提铣削力系数辨识方法的有效性，开展了五轴铣削加工试验。试验所用加工设备为长征GMC1600H/2高精度五轴立式加工中心，平动定位精度为20 μm，转动定位精度为8″。所用工件材料为2024–T6高强度硬铝合金，该材料具有较高强度和良好的机械性能，广泛应用于飞行器中的大负载结构件，如隔框、翼肋、翼梁和骨架零件等。在加工试验过程中，全程在线测量铣削力数据，所用测力仪器为Kistler 9257A型压电式三向测力仪，辅以Kistler 5070型电荷放大器和NI数据采集系统，采样频率为10 kHz，所搭建试验平台如图3所示。

图3　五轴铣削加工试验平台

Fig.3　 Five-axis milling experimental platform

试验所用刀具为硬质合金圆角立铣刀（牌号Sandvik 2S221–1000–150–NG H10F），几何参数如表3所示。

表3　刀具几何参数

Table 3　 Geometric parameters of the cutter

刀具	直径/mm	圆角半径/mm	齿数	螺旋角/（°）
圆角刀	10	1.5	2	30

在铣削加工试验中，共设置了4组刀具姿态，前倾角θ_L和侧倾角θ_T分别取为（0°，0°）、（0°，15°）、（10°，0°）和（10°，15°）。针对所选的硬铝合金材料和硬质合金刀具，采用干切削方式，通过多组适宜工艺探索与参数优选试验，最终确定的切削用量三要素设置分别为：主轴转速S 1200 r/min、进给速度f 500 mm/min，切削深度a_p 1 mm，如表4所示。

表4　五轴铣削加工试验中的参数设置

Table 4　 Cutting parameters for five-axis milling experiment

试验组号	刀具前倾角θ_L/（°）	刀具侧倾角θ_T/（°）	主轴转速S/（r/min）	进给速度f/（mm/min）	切削深度a_p/mm
1	0	15	1200	500	1
2	10	0	1200	500	1
3	10	15	1200	500	1
4	0	0	1200	500	1

2.2　铣削力系数辨识结果

利用上述试验平台和参数设置，开展五轴铣削加工试验，在线测量加工过程的铣削力数据，从而进行铣削力系数辨识。通过对单个刀具周期获取的铣削力进行铣削力系数辨识后，对获取的铣削力系数进行拟合，拟合后的铣削力系数必须能正确反映五轴加工过程铣削力的变化，从而通过在线辨识对可能发生的故障进行实时监测，提高加工过程的可控性。

应用式（16）进行铣削力系数在线辨识，并按照式（1）将未变形切屑厚度 $\bar{h}$ 与铣削力系数 $\bar{K}$ 的关系进行拟合，表达为e指数函数形式的关系式，结果如式（19）~（22）和图4所示。

{\begin{array}{l} {\bar{K}}_{t1} = 656.361 + 1407.63 e^{- 27.7253 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{r1} = 227.282 + 466.290 e^{- 37.2018 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{a1} = - 2208.46 + 2241.97 e^{- 0.2506 \bar{h}} \end{array}

（19）

{\begin{array}{l} {\bar{K}}_{t2} =743 .408+1218 {.61e}^{- 55 .3008 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{r2} =98 .2937+385 {.959e}^{- 37 .0813 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{a2} =12 {.4729+1331132e}^{- 1301 .5 \bar{h}} \end{array}

（20）

{\begin{array}{l} {\bar{K}}_{t3} =781 .631+1798 {.24e}^{- 47 .1491 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{r3} =207 .048+532 {.116e}^{- 42 .3426 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{a3} = - 49 .9343+394 {.470e}^{- 21 .837 \bar{h}} \end{array}

（21）

{\begin{array}{l} {\bar{K}}_{t4} =816 .935+1913 {.93e}^{- 41 .7956 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{r4} =166 .518+686 {.391e}^{- 25 .2867 \bar{h}} \\ {\bar{K}}_{a4} =868 .228 - 884 {.065e}^{- 0 .17887 \bar{h}} \end{array}

（22）

图4　不同倾角下的铣削力系数拟合结果

Fig.4　 Fitting results of cutting force coefficients at different inclination angles

将获得的铣削力系数结果（式（19）~（22））代入铣削力预测模型（式（15））中，计算得到五轴加工过程中的铣削力预测值，如图5所示，该预测值可用于对切削异常进行预报和工艺参数优化控制。为了对比各组不同刀具姿态下铣削力的预测值和实测值，从实测值中随机截取一个刀具旋转周期的铣削力数据，在图5（a）~（c）中通过描点线表示。

图5　不同倾角下的铣削力预测值和实测值对比及不同刀具姿态下F_x方向与F_y方向的铣削力预测误差率

Fig.5　 Comparison of predicted and experimental values of cutting force at different inclination angles and predicted error rate of milling force in F_x and F_y direction at different cutter orientations

根据图5（a）~（c）可得各个不同倾角进行加工时铣削力沿F_x方向和F_y方向的预测误差，然后对该周期内的预测误差取平均值，得到各组的平均预测误差率（不含第4组无倾角的情况），如图5（d）所示。可知，F_x方向和F_y方向的预测误差率均低于10%，F_x方向预测误差率最小低至7.35%；F_y方向预测误差率最小为6.19%。结果表明，本文方法可实现五轴加工过程铣削力系数的精确辨识和铣削力精确预测，可用于铣削加工过程异常或故障的及时预报。

2.3　考虑刀具姿态在铣削力预测中的有效性分析

在已报道的五轴铣削力预测模型中，均通过无刀具倾角的立铣加工试验数据进行离线的铣削力系数辨识，并将所得结果作为五轴铣削力预测中的系数，但这些研究均未在铣削力系数辨识模型中考虑刀具姿态的影响。因此，分别采用未考虑刀具姿态和考虑刀具姿态的铣削力系数，进行具有刀具倾角时的五轴加工过程铣削力预测，并分别与实测值进行对比，以验证本文所提铣削力系数辨识方法的有效性，同时考查考虑刀具姿态的铣削力系数辨识对五轴铣削力预测的影响，结果如图6所示。

图6　铣削力预测值和实测值对比

Fig.6　 Comparison of predicted and measured milling forces

对比图6中各组铣削力的实测值和预测值发现，F_z方向铣削力的预测误差较大。这主要是由于F_z方向受力过小，对刀具跳动、刀具磨损及测量误差等误差源更加敏感，导致预测模型在F_z方向铣削力上的预测适用性受限。因此，后续分析仅限于F_x方向和F_y方向的铣削力。

根据图6中的数据，分别计算未考虑刀具姿态和考虑刀具姿态两种情况下的铣削力预测值与实测值相比的误差率，如图7所示，对比发现，当铣削力系数中未考虑刀具姿态时，F_x方向和F_y方向铣削力的预测误差率最小值大于11.62%，二者的平均预测误差率分别为17.75%和16.45%，最高预测误差率高达26.85%。而当在铣削力系数中引入刀具姿态的影响后，预测误差率显著降低，所有误差率结果均小于9.50%，F_x方向和F_y方向铣削力的平均预测误差率分别降至8.44%和7.81%，最低仅为6.19%。从结果可知，在铣削力系数辨识中考虑刀具姿态的影响，有利于提高铣削力预测的准确性，因而可从本文所提出的铣削力系数辨识模型（式（16））进行溯源，考虑刀具姿态的影响，不仅能改善刀具–工件接触区域解析判定的精确性，而且能提高未变形切屑厚度的解析计算精确性，最终保证了铣削力系数辨识及铣削力预测的精确性。

图7　铣削力的预测误差率

Fig.7　 Predicted error rate of milling force

对于圆角刀铣削，当刀具轴线沿着工件表面法线方向时，刀具与工件之间的接触关系分别按照规则的底刃部分、圆弧部分和圆柱部分进行分析，接触区域是可简单进行确定的。然而，刀具倾角的变化会改变刀具与工件的接触关系，刀具上参与接触的部分不规则，并且根据刀具倾角的变化而改变。刀具的倾斜也会使切削刃在切入工件和切出工件时的方向和状态发生变化，并且会加剧不同切削刃之间的接触状态差异，均会导致铣削力系数的变化。此外，刀具倾角的存在和变化也会改变实际的未变形切屑厚度，导致采用前倾角和侧倾角均为0°时辨识的铣削力系数预测前倾角或侧倾角不为0°时的铣削力不符合实际情况，此种预测不适应更复杂的不确定性切削状态（具有刀具倾角），因而会导致较大的预测误差。

对于高强度、高硬度难加工航空材料的铣削加工，较大的铣削力可能引发刀具损坏、让刀变形、加工颤振或严重超差等问题。因此，铣削力系数精确辨识和铣削力精准预测对于加工过程的在线监测、故障预警及质量控制具有重要意义。特别是在航空曲面构件的五轴铣削加工中，由于须避免铣削过程中的干涉或碰撞，刀具通常处于较大倾角的变姿态加工状态。在这种情况下，基于上述分析可知，在铣削力系数辨识中考虑刀具姿态的影响尤为必要。

3　结论

面向航空复杂构件的智能加工需求，本文提出了一种考虑刀具姿态的五轴铣削力系数在线辨识方法。通过单个刀具旋转周期内的铣削力信号，实现了铣削力系数的实时辨识，证实本文所提方法可有效支持五轴铣削力的在线监测与故障分析，主要结论如下。

（1）在提出的铣削力系数辨识方法中，通过解析描述刀具姿态影响下的特征线、交线和投影线，精准确定了包含刀具倾角影响的刀具–工件接触区域。结合考虑刀具姿态的瞬时未变形切屑厚度，构建了综合考虑刀具前倾角和侧倾角影响的铣削力系数模型，为五轴加工中刀具姿态变化的铣削力预测提供了理论基础。

（2）进行了五轴铣削加工与铣削力在线监测试验，完成了铣削力系数的在线辨识与拟合，并基于拟合结果进行了铣削力预测。在考虑刀具姿态的情况下，F_x和F_y方向铣削力的平均预测误差率均小于10%，最小为6.19%，表明本文所提出的方法能够有效辨识具有刀具倾角的五轴铣削力系数，满足高精度预测要求，可以用于铣削力系数的在线辨识，服务于智能化加工。

（3）对比未考虑刀具姿态与考虑刀具姿态的铣削力系数辨识模型在五轴铣削力预测中的表现，发现未考虑刀具姿态时，各组铣削力预测误差显著高于考虑刀具姿态的情况，进一步验证了考虑刀具姿态在铣削力系数辨识与五轴铣削力预测中的必要性。从刀具倾角对刀具–工件接触关系及未变形切屑厚度的影响，对考虑刀具姿态在铣削力预测中的有效性进行了溯源和分析。

综上，本文提出的铣削力系数在线辨识方法不仅能够为航空复杂构件五轴铣削加工过程的在线监测与故障预报提供方法基础，同时可为智能加工过程的质量控制与优化设计提供理论支撑。

作者介绍

段现银　教授，博士，研究方向为精密制造与智能制造。

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